三类生态模型的振动性研究及一类广义Logistic模型的Hopf分支

摘要

通过对微分方程解的局部与全局的吸引性、稳定性、周期性、振动性以及持久生存性等渐进性质的研究，人们可以深入的了解并控制生态系统，从而使其达到一定的平衡．本文共分四个部分，首先分别研究了三类生态模型解的振动性，其中包括正解的存在性、振动性及线性振动性；其次讨论了一类具有扰动时滞的广义Logistic模型的hopf分支问题． 本文第二章针对一类三阶非自治线性时滞微分方程，研究了其广义特征方程与正解存在性之间的关系，具体地得到了最终正解存在的简化条件．首先利用泛函分析理论及不动点原理得到了正解存在的充要条件；其次利用构造函数法，根据原方程的不同特点，给出了最终正解存在的几个充分条件；最后对定理条件的可实现性进行了实例验证． 自然界自身的变化发展加上人类对其不断的改造，使得在这一过程中生态系统中的某些种群密度，可能在一定时间段内增加或递减很快，或在一定的时间点灭绝．这些种群密度的变化可能与当前时刻以及以前的任意时刻都有关系，也就是泛函微分方程中的连续时滞，从而对具有时滞的微分积分方程或不等式振动性的研究具有重要的理论意义和应用价值．本文第三章研究了一类二阶具有连续时滞的非线性积分微分不等式的振动性问题．首先利用Lebesgue控制收敛定理得到了正解存在的充分条件；并用反证法得到了其正解不存在的充分条件；最后通过分析讨论给出了其解振动的充要条件． 对于微分方程而言，通常利用线性方程来研究非线性方程的性质．如振动性，若某些非线性方程与相应的线性方程有着相同的振动性，其振动性质就可以利用其线性方程来刻画，那么对于非线性方程振动性的研究将有很大程度的简化．由于种群密度的变化会受到时间的直接影响，在微分方程中就表现为变系数情形．本文第四章研究了一类具有变系数的二阶时滞微分方程的线性振动问题，利用Knaster-Tarski不动点定理得到了方程的线性振动准则；并就其中变系数取不同范围的数值进行了讨论；给出了线性振动的充要条件，使其解的振动问题得以简化． 在种群动力系统中，种群密度的变化一般都比较复杂．通常其变化都不只与当前时刻以及以前的某一时刻有关，同时，外界会存在—些干扰因素，如某一外界因素的影响就可能使其产生扰动，从而产生分支现象．本文第五章研究了一类具有扰动时滞的广义Logistic模型的hopf分支问题．首先根据特征值理论得到了其产生分支周期解的条件；然后利用函数正交性条件得到了其近似周期解的表达式；最后通过实例，应用Matlab得到了其参数取不同数值时数值解的曲线拟合图，并讨论了参数的变化对周期解的振幅、周期以及正平衡态的影响.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

第二章三阶非自治线性时滞微分方程正解的存在性

§2.1模型的引入

§2.2正解的存在性

§2.3非振动性结论

小结

第三章一类二阶积分微分不等式的振动性

§3.1模型与定义

§3.2正解的存在性

§3.3解的振动性

小结

第四章一类二阶非自治时滞微分方程的线性振动

§4.1模型的引入

§4.2 c1＞0的情况

§4.3 c1＜0的情况

§4.4线性振动结论

小结

第五章一类具有时滞的广义Logistic模型的hopf分支

§5.1正周期解的存在性

§5.2基本引理

§5.3 Hopf分支

§5.4应用举例

小结

总结

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间的研究成果