与Moore-Penrose逆相关的加权SVD、条件数以及扰动界

摘要

众所周知,相对条件数衡量着矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解对扰动的敏感性,因此在数值计算一个矩阵的逆以及线性系统的最小二乘解的时候,条件数显得非常重要.在文章的开始,先介绍矩阵的加权Moore-Penrose逆和加权条件数的定义,接着给出了加权的广义奇异值分解和其在Tikhonov正则化中的应用,然后讨论了有关奇异矩阵(包含一般矩阵和结构化的矩阵)、奇异线性系统Ax=b的加权条件数以及与秩亏损有关的距离.设线性系统Ax=b的加权最小二乘解即min<,x>||Ax-b||M的解x,在实际计算中,由于存在误差,我们得到的只是min<,y>||(A+E)y-(b+f)||M的解y.为确定我们计算得到的y是否符合实际要求,对||y-x||N的误差界的计算显得尤其重要.文章的最后给出了线性系统Ax=b在假设条件rank(A+E)=rank(A)的下误差解.

目录

第一章背景知识

§1.1加权Moore-Penrose逆

§1.2加权条件数的定义

第二章加权奇异值分解及其应用

§2.1 加权奇异值分解

§2.2 加权的Tikonov正则化

第三章加权条件数的性质

§3.1一般奇异矩阵的加权条件数

§3.2一般奇异线性系统的加权条件数

§3.3结构化矩阵的加权条件数

§3.4结构化奇异线性系统的加权条件数

第四章秩亏损的距离

第五章扰动分析

参考文献

致谢

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