The influence of domain geometry in theboundary behavior of large solutionsto semilinear elliptic problems

摘要

本文讨论半线性椭圆型问题△u=b(x)f(u)；u∣(з)Ω=+∞(1.1)
　　解在边界渐近的一次展式和二次展式.其中Ω是RN(N≥2)中的有界光滑区域，b(x)满足对某一μ∈(0,1)，b∈C0,μ(-Ω)，且在Ω上b＞0,在(з)Ω上b=0.
　　 令∧表示正的单调递增的函数类：k∈C1(0,δ0)(δ0＞0) 满足
　　 lim t→0+d/dt(K(t)/k(t))=:Ck∈[0,∞),K(t)=∫t0 k(s)ds.
　　 在本文中假设下列条件成立:
　　 (f1): f∈C1[0,∞)；f在[0,∞) 上非负，并且f(s)/s在(0,∞) 上单调递增;
　　 (f2): 存在q＞1 使得lim s→∞ sf'(s)/f(s)=p;
　　 (b1): 存在k∈∧ 使得lim d(x)→0 b(x)/k2(d(x))=b0.
　　 应用摄动方法，构造比较函数，得到了
　　 定理1.1 当f 满足(f1)，(f2) 并且b 满足(b1)时，设u∈C2(Ω)是问题(1.1)的任一个解，则lim d(x)→0+u(x)/h(d(x))=l;其中l=[(p-1)Ck+2/b0(p+1)]1/p-1,
　　并且对充分小的t＞0，h 由方程∫∞ h(t) ds/√2F(s)=∫t 0 k(s)ds给出. 此外问题(1.1)的解唯一.特别地，当b(x)=d(x)α(α＞0)，f(u)=eu时，问题(1.1)的解满足
　　 lim d(x)→0+u(x)/-ln d(x)=2+α.
　　 考虑到边界对解的影响，有下列解在边界渐近的二次展式
　　 定理1.2 当b(x)=d(x)α(α＞0)，f(u)=eu时，问题(1.1)的解在边界(з)Ω的一个充分小的邻域内有 u(x)=ln(2+α)-(2+α)lnd(x)+(N-1)H(-x)d(x)+0(d(x)),
　　其中，-x表示(з)Ω上到x的距离最近的点，H(-x)表示在这一点的平均曲率.