带跳的分数维积分过程的幂变差理论及其在金融高频数据中的应用

摘要

金融高频数据一般指日内数据，具有很小采样间隔，一般具有跳跃性，还具有长期记忆性.本文主要研究同时具有这两个性质的连续时间随机过程模型，讨论幂变差渐近性质，利用这些性质来构造适当统计量，检验利用所给模型描述金融资产价格运动是否合理.本文主要工作和结论如下:
　　(1)、提出了一类同时具有跳跃性和长期记忆性的连续时间过程.具体来说,即分数维布朗运动加上一个非高斯Lévy过程，其推广形式:分数维积分过程加上一个不含有连续鞅的半鞅，平稳高斯过程的积分过程加上一个不含连续鞅的半鞅.
　　(2)、研究了上述过程的幂变差渐近理论.分析了其已实现幂变差的渐近极限行为，得到了所有情形的大数定律，部分情形的中心极限定理.对于不同情形,大数定律和中心极限定理具有不同的渐近结论，具有不同的渐近极限，且差异较大.
　　(3)、研究了上述过程的多幂变差、截断幂变差、截断多幂变差渐近理论.分析它们的渐近行为，得到了其已实现双幂变差、已实现截断幂变差、已实现截断双幂变差的大数定律和中心极限定理，获得了较为系统的结果.
　　(4)、对上述过程的一类特殊简单形式，即分数维布朗运动加上一个α-stable过程，给予了充分研究.分析了其幂变差的渐近极限行为，得到所有情形的大数定律，获得了大多数情形下的中心极限定理.在定理的分析证明过程中，还得到了一个新的不等式，这个不等式将为处理某些类似问题提供一个新的工具.
　　(5)、构造适当的统计量对该过程模型进行了检验.利用幂变差理论、截断幂变差理论、多幂变差理论、截断多幂变差理论，构造了三个检验统计量，在含有跳的情形下,检验过程是否具有长期记忆性，讨论了三个统计量的小样本表现.
　　(6)、对实际金融高频数据进行实证检验分析.利用所构造的统计量对实际金融数据进行分析，分析表明高频数据具有长期记忆性，相对于半鞅模型来说,所提出模型更适合描述金融数据中的长期记忆性，为研究金融市场以及金融市场微观结构理论提供了一个合理的可供选择模型.
　　本文的结论创新之处:一、本文提出了一类既含有跳跃性又含有长期记忆性的连续时间过程，推广了现有的随机过程模型，为利用随机过程解决实际问题提供了一个新的模型选择机会.二、对这个模型的已实现幂变差理论给出了较为全面的分析，得到了较为全面的结论，为利用幂变差理论进行假设检验，以及随机过程的统计分析，提供了的理论支持，三、本文在分析幂变差行为时，建立一个新的不等式，这将为解决相关问题，提供一个新的工具.四、对实际数据进行实证研究表明，可以用这类过程描述金融高频数据,为研究金融高频数据以及研究金融市场微观结构理论,提供了一个合理的可供选择模型.
　　本文方法创新之处:一、在分析这类过程的幂变差性质时，对于这类过程，既非半鞅，又非高斯过程，使得现有的方法都无法直接使用，本文采用一种新的分解方式，较好地解决了这类问题.二、在分析一类特殊简单形式，即分数维布朗运动加上一个α-stable过程时，建立了一个新的不等式，该不等式解决了分析中心极限定理时遇到的许多问题.三、为检验模型,本文构造三个统计量的方法，将为解决其他类似统计问题提供新的思路、新的方法.
　　本文将Lévy过程、半鞅、分数维积分过程等随机过程推广到带跳的分数维积分过程,有助于将随机过程运用到实际领域中，为应用随机过程提供了一个可供选择的模型，拓宽人们的视野.本文得到的较为系统的幂变差理论，有助于更好地将幂变差理论与已实现波动率接合起来，更好地利用幂变差理论研究随机过程的统计问题，有助于认识随机过程的某些渐近行为.本文解决幂变差理论所用到的方法，为解决过程中类似的渐近问题提供一个新的视角，解决统计中类似的统计量渐近分布问题.本文给出的一个新的不等式，有助于研究其他类似问题，也发展了不等式理论.本文所给的统计量和实证检验的结果，有助于解决类似的统计检验问题，有助于更好地利用幂变差理论，研究高频数据，研究金融高频数据本身特征，有助于研究金融市场微观结构理论.