约束多体系统的前离散零空间算法

摘要

随着国民经济与国防技术需求的不断提高,工程机械系统的大型化、多构型化和高速化已成为发展趋势,多体系统的复杂性、强耦合性和非线性特征日益明显,系统动力学特性愈来愈复杂。传统的多体系统动力学分析方法已难于处理复杂工程对象的动力学问题。计算多体系统动力学作为经典力学与计算技术的结合应运而生。
　　在计算多体系统动力学数值分析方面,由于非线性与时变耦合的多体系统动力学方程中,存在慢变大幅变量和快变微幅变量,导致了严重的数值病态问题。而且,拉格朗日乘子技术虽然较好地解决了复杂约束多体系统中的约束处理难题,但约束多体系统动力学方程的数学性质被改变,从微分方程组(ODEs)转变为微分代数方程组(DAEs)。由于DAEs的数值求解技术远不如ODEs的求解技术成熟,涉及一些在计算数学领域正在探索和研究的课题,为了获得准确、稳定和高效的多体系统数值解,迫切需要具有良好数值性态的计算方法。
　　鉴于此,本文基于多体系统动力学方程的两种等效变换途径,对约束多体系统数值算法展开研究,主要研究工作和结论如下。
　　在基于消去拉格朗日乘子项的ODEs等效变换类算法研究方面,本文基于离散零空间算法的改进,提出了约束多体系统的前离散零空间算法。首先,考虑到在离散零空间算法的等效变换公式中,零空间矩阵的确定通过离散导数实现,对数学离散积分方法有一定的依赖性。本文对零空间矩阵的计算方法进行了改进,提出了前离散零空间等效变换公式。该公式可不依赖于特定的积分方法,且能简洁、方便的与多种数值积分算法相结合,更有利于前离散零空间算法的推广。然后,以隐式中点法为数学离散方法,提出了约束多体系统的前离散零空间算法框架。推导了基于前离散零空间算法框架的单刚体动力学和多刚体动力学变量和算法参数。最后,考虑到已有离散零空间算法仅给出了多体动力学方程等效变换公式与中点法、特定变分积分法结合的数学离散积分公式,而在计算力学中,除中点法外,在数值积分算法中广泛使用和发展较快的龙格库塔法、变分积分法Newmark法也均被广泛应用,成功地把隐式龙格库塔法、变分积分法和Newmark积分法与本文提出的约束多体系统前离散零空间算法框架相结合,降低了三种积分方法的计算复杂度,提高了计算效率。通过上述三种算法的构造、数值实验与分析,验证了前离散零空间等效变换公式的正确性,示例了前离散零空间等效变换公式与数值积分算法的良好结合性,说明了前离散零空间算法的有效性和可行性。
　　本文提出的前离散零空间算法,与约束多体系统的其他数值算法相比,它继承了离散零空间算法的优越性。采用前离散数学框架,降低了动力学方程的复杂度。利用零空问等效变换,实现了多体系统动力学方程的降维。通过每一单元的零空间矩阵的独立求解,较好的保持了系统动力学方程系数矩阵的带宽和相应的稀疏性,有利于稀疏矩阵求解技术的应用,从而可获得较高的计算效率。与已有离散零空间算法相比,前离散零空间算法的等效变换公式中零空间矩阵的确定方法更具一般性,不依赖于特定的积分方法,能简洁、方便的与多种数值积分算法相结合。基于前离散零空间等效变换公式构造的三种数值算法,拓宽了离散零空间算法在多体系统动力学计算中的应用,推广了零空间理论的应用范围。
　　在基于降指标技术DAEs等效变换类算法研究方面,考虑到已有的Baumgarte约束违约稳定法,存在位移约束违约问题,计算结果不够准确。本文首先保持约束方程的位移约束形式,然后对DAEs形式的动力学方程进行降指标处理,将求解高阶微分代数方程的降阶GGL理论、ε嵌入处理方式与隐式龙格库塔法相结合,提出了约束多体系统的无违约算法。该算法始终直接满足位移约束方程,可避免位移约束违约问题,且能适应较大时间步长,在数值解的准确性、稳定性和计算效率方面均优于约束违约稳定法。