变系数临界半线性波动方程经典解的整体存在性

摘要

在此博士论文中，我们研究了变系数临界半线性波动方程经典解的整体存在性。证明临界半线性波动方程整体经典解的存在性有两个关键步骤：一是证明能量(势能)不集中；二是结合能量不集中和Strichartz估计得到整体经典解。为了证明能量不集中，类似于常系数情形中采用的Morawetz乘子，我们构造几何乘子。当变系数只依赖于空间变量时，我们用距离函数构造几何乘子，然后用黎曼几何中经典的比较定理来估计“余项”。当变系数依赖于时间和空间变量时，问题变得更加复杂、困难。因为此时时间和空间不能分开，变系数诱导的度量不再是黎曼度量，而变成了Lorentz度量，故不能直接用距离函数构造几何乘子。参照Christodoulou和Klainerman的工作，我们用光学函数构造零标架进而构造几何乘子，并采用常微分方程中的比较定理来估计“余项”。他们利用光学函数构造零标架，研究了解在无穷远处的性态。与他们不同的是，我们研究趋向一点(不妨假设为原点)时解的性态。
　　 1968年，Sattinger[48]证明了当初值位于势阱中且满足一定条件时，一类非线性波动方程初边值问题存在整体解。受此启发，我们证明了当初值位于势阱中且满足相同条件时，聚焦型三次半线性波动方程存在整体解，并且得到了解的指数阶能稳；结合该结论和Zhou-Lei[66]中的构造性方法，我们还得到了系统在区域上的全局精确边界能控性。
　　 本文的具体组织如下：
　　 首先，在第一章简要介绍临界半线性波动方程的研究背景、历史及半线性波动方程精确边界能控性的研究历史，并对全文的内容做了简单的概述。
　　 在第二章，我们证明了3维空间中当系数只依赖于空间变量时，临界半线性波动方程外问题能量不集中。结合Smith和Sogge[52]中得到的Strichartz估计，我们得到了经典解的整体存在性。
　　 在第三章，我们证明了3维变系数(依赖于时间、空间变量)临界半线性波动方程柯西问题的能量不集中，从而得到了经典解的整体存在性。
　　 在最后一章，当初值和终值位于所谓的势阱中并且满足一定条件时，我们得到了聚焦型三次半线性波动方程在一般区域上的全局精确边界能控性。