关于算子序列的总体紧性与Fredholm性的探究

摘要

在Banach空间算子理论中,紧算子和Fredholm算子是无限维Banach空间中的两类重要算子。它们在积分方程和许多数学物理问题的研究中起着核心作用,有着广泛的应用。它们的谱分析和结构理论已被研究的很透彻。算子紧序列和算子Fredholm序列在方程近似求解等应用问题中起着重要的作用。
　　本文主要讨论了算子序列的总体紧性和Fredholm性。函数空间上算子序列的总体紧性一直是人们关注的问题,这一理论在二十世纪七十年代初就已被国外一些学者如P.M.Anselone所研究,它对算子方程的近似求解以及谱逼近起着重要作用。随后,国内外许多数学工作者对函数空间上各种算子序列的总体紧性进行了大量的研究,并取得了许多令人满意的结果。1986年李绍宽在讨论算子紧序列的基础上,引入了算子Fredholm序列的概念,并讨论了它的一些性质。相对于算子序列的总体紧性,近年来对算子序列的Fredholm性的研究还不够丰富,与其指标有关的结论更不多。
　　本文在这两方面做了进一步的研究,并且取得了若干成果。首先我们在本文中讨论了单位圆盘上不同Hardy空间之间的加权复合算子序列的总体紧性,利用Carleson测度的概念给出了总体紧的加权复合算子序列的充要条件。其次本文进一步讨论了算子Fredholm序列的性质,并且得到了一致收敛的有界线性算子序列为算子(上半,下半)Fredholm序列的等价条件,这也是单个(上半,下半)Fredholm算子情形的推广。接着我们推导出了一致收敛的有界线性算子序列为算子Fredholm序列的另一个充要条件,并在此基础上推广了单个Toeplitz算子和复合算子的Fredholm性,得出了一致收敛的Toeplitz算子序列和复合算子序列为算子Fredholm序列的充要条件;然后我们又由算子紧序列与算子Fredholm序列的关系以及Toeplitz算子的性质,在陈晓漫、李文君,钟昌勇得出的结果的基础上推导出了Toeplitz算子序列为算子Fredholm序列的一些充分和必要条件。最后,我们给出了算子序列的升标和降标的概念,利用构造的方法适当的定义了算子序列的零空间和值域,然后在此基础上讨论了与算子紧序列有关的一类算子序列以及算子上半Fredholm序列的升标和降标的一些性质,并且利用同伦的思想证明了具有有限升标(降标)的算子上半Fredholm序列在其摄动类中交换元的摄动下具有同样的性质。

目录

摘要

ABSTRACT

第1章 引言

第2章 算子序列的总体紧性

2.1 预备知识

2.2 单位圆盘上不同Hardy空间之间的加权复合算子序列的总体紧性

第3章 算子序列的Fredholm性

3.1 预备知识

3.2 算子Fredholm序列的几个性质

3.3 有界线性算子序列为算子(上半,下半)Fredholm序列的等价条件

3.4 Toeplitz算子序列和复合算子序列的Fredholm性

3.4.1 几个重要定理

3.4.2 Toeplitz算子序列的Fredholm性

3.4.3 复合算子序列的Fredholm性

第4章 算子序列的升标和降标

第5章 结论

参考文献

攻读硕士期间发表的论文

致谢