关于Smarandache函数混合均值和无穷级数的计算问题

摘要

数论作为研究整数性质的数学分支，在数学中具有独特的地位．数论函数均值估计是数论研究的重要课题之一，也是研究各种数论问题不可缺少的工具，许多著名的数论难题都与数论函数的均值密切相关． 在《Only Problems，Not Solutions》一书中，美籍罗马尼亚著名的数论专家F．Smarandache教授提出了105个尚未解决的问题，其中许多问题都与数论有关．对这些问题进行研究并给予一定程度上的解决，具有重要的理论意义． 本人基于对一些Smarandache函数的兴趣，应用初等数论和解析数论的知识对一些特殊函数的性质进行了研究，得到了与这些函数相关的数论函数均值估计．具体来说，本文的主要成果包括以下几个方面： 1．研究了伪Smarandache函数Z(n)的性质，并利用初等和解析的方法获得了混合函数p(n)/Z(n)的渐近公式：其中p(n)为n的最小素因数，ai(i=2，3，…，k)为可计算的常数． 2．通过研究Smarandaehe最小公倍数函数SL(n)和一个新的算术函数(Ω)(n)的性质，用初等和解析的方法得到关于(Ω)(n)SL(n)的混合均值：其中也(i：1，2，…，k)为可计算的常数，当n的标准分解式为n=pα11pα22…pαss时(Ω)(n)=α1p1+α2p2+…+αsps． 3．研究了具有某一共同性质的一类Smarandazhe函数的性质，进而构建关于这类函数的无穷级数，用初等和解析的方法得到这类函数的无穷级数是发散的．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

§1.1 数论产生及发展

§1.2 数论在数学中的地位及其应用

§1.3 研究背景以及课题内容

§1.4 主要成果及内容组织

第二章包含伪Smarandache函数的均值问题

§2.1 与伪Smarandache函数相关的知识

§2.1.1 引言

§2.1.2 定理的证明

§2.2 包含伪Smarandache函数的均值计算

§2.2.1 几个引理

§2.2.2 定理的证明

第三章包含Smarandache LCM函数的混合均值

§3.1 与Smarandache LCM函数相关的知识

§3.1.1 引言

§3.1.2 定理的证明

§3.2 关于Smarandache LCM函数与-Ω(n)算术函数的混合均值

§3.2.1 -Ω(n)的定义及性质

§3.2.2 定理的证明

第四章一类Smarandache函数无穷级数的敛散性

§4.1. 一类Smarandache函数的介绍

§4.1.1 Smarandache双阶乘函数

§4.1.2 伪Smarandache无平方因子函数

§4.1.3 Smarandache平方补函数

§4.2 一类Smarandache函数级数的敛散性

§4.2.1 引理

§4.2.2 定理的证明

总结与展望

参考文献

攻读硕士学位期间取得的学术成果

致 谢