数论中一些著名算术函数的性质研究

摘要

对著名算术函数性质的研究一直是解析数论中非常重要的课题,但是由于许多问题本身的困难性,至今得到的结果仍不是很多,所以对这些问题及其推广形式进行深入地研究仍然是有意义的.
　　 本论文利用解析与初等的方法研究了特征和在不完整区间上的某些性质,D.H.Lehmer问题的一个推广形式,广义Dedekind和混合均值问题,以及前n项幂和级数计算方法问题,获得一些较强的渐近公式和等式.本论文主要包括以下几个方面成果:
　　 1.短区间上特征和均值性质研究.研究了一般短区间上类特征和的四次均值及与广义Kloosterman和的混合均值问题,四分之一区间上特征和与广义三角和的混合均值问题,以及短区间上包含Lˊ/L(1,x)与Gauss和的均值,得到了几个渐近公式.
　　 2.类D.H.Lehmer问题的研究.研究了一种类Lehmer问题,并通过利用Dirichlet L-函数的均值定理,建立了其余项部分与Hurwitzzeta-函数间的关系,另外获得它的一个双变量混合均值公式.
　　 3.广义Dedekind和与 Ramanujan和的研究.利用Dirichlet L-函数的均值恒等式以及Dirichlet特征的性质研究了广义DedeMnd和与Pmmannjan和的均值分布问题,得到了广义Dedekind和,广义Hardy和与Ramanujan和混合均值的五个关系恒等式,推广了已有的结论.
　　 4.前n项幂和级数研究.研究了数论中一个经典问题:幂和级数问题,用组合技巧更简单地证明了该级数可表示为包含n(n+1)或n(n+1)(2n+1)因子的多项式,另外还得到了计算该多项式系数的一般方法.

目录

文摘

英文文摘

第一章 绪论

§1.1 研究背景与课题意义

§1.2 主要成果和内容组织

第二章 短区间上特征和的均值

§2.1 短区间上类特征和的四次均值问题

§2.1.1 引言及结论

§2.1.2 一个引理

§2.1.3 定理的证明

§2.2 短区间上类特征和与广义Kloosterman和的混合均值

§2.2.1 引言及结论

§2.2.2 一个引理

§2.2.3 定理的证明

§2.3 短区间上特征和与广义三角和的混合均值

§2.3.1 引言及结论

§2.3.2 几个引理

§2.3.3 定理的证明

§2.4 短区间上特征和与L1/L(1,x),Gauss和的混合均值

§2.4.1 引言及结论

§2.4.2 几个引理

§2.4.3 定理的证明

第三章 类D.H.Lehmer问题余项的混合均值

§3.1 引言及结论

§3.2 几个引理

§3.3 定理的证明

第四章 广义DedeKind和与Ramanujan和的混合均值

§4.1 引言及结论

§4.2 几个引理

§4.3 定理的证明

第五章 前n项幂和级数

§5.1 引言及结论

§5.2两个递推关系式

§5.3定理的证明

总结与展望

参考文献

攻读博士学位期间取得的研究成果

致谢

作者简介