基于径向基点插值无网格法(RPIM法)研究及应用

摘要

无网格法,又名无单元法,是近些年发展起来的一种数值计算方法,顾名思义,不需要网格和单元,对求解域的离散只需要节点的信息,因此在求解高度大变形问题、动态裂纹扩展问题、高速碰撞引起的几何畸变等问题有明显的优势,具有广阔的应用前景。本论文对径向基点插值的无网格法进行深入的研究,同时将其应用到二维平面弹性静力学问题的计算分析中。概括如下：对目前存在的各种无网格方法进行了综述,对当前国内外的研究现状做了详细介绍,使得对无网格方法的理解和研究更为系统化。以径向基点插值无网格法研究为主线,从形函数入手,详细叙述了径向基点插值无网格法形函数的构造过程及其性质；绘制形函数程序的结构流程图,在流程图的基础上编制了计算二维形函数的程序,同时在径向基点插值无网格法二维形函数研究讨论的基础上,编制了计算三维形函数的程序,为径向基点插值无网格法求解三维问题奠定了一定的基础。针对径向基点插值无网格法,应用变分原理推导离散系统方程,建立了二维平面弹性静力学问题的求解算法,详细论述了程序的设计思想,绘制程序结构流程图,在此基础上编制了基于径向基点插值无网格法程序,对主程序和子程序的定义及功能做了详细说明。通过有解析解的悬臂梁算例验证了程序的可行性及精确性。通过大量计算,研究了形状参数、影响域尺寸、多项式基函数的个数、场节点布置等因素对径向基点插值无网格法求解精度的影响。基于以上研究,将基于径向基点插值无网格法应用于桥墩、开洞墙体、重力坝三个工程实际问题的位移和应力场计算,得到了满意的结果,可为工程设计提供参考。本文基于径向基函数无网格方法研究所得的成果,有助于无网格法的进一步研究。

目录

摘要

Abstract

1 绪论

1.1 引言

1.2 无网格发展概述

1.2.1 无网格法产生的背景

1.2.2 无网格法的发展历史

1.2.3 无网格法国内外研究的历史及现状

1.2.4 无网格法定义

1.2.5 无网格法与有限元法对比

1.2.6 无网格法的评价及研究意义

1.3 本文的主要研究内容及创新

2 无网格法形函数的理论构造研究

2.1 弹性力学基本方程

2.1.1 三维弹性力学基本方程

2.1.2 二维弹性力学基本方程

2.2 无网格法形函数概述

2.2.1 无网格插值/近似技术

2.2.2 支持域

2.2.3 点插值方法

2.3 多项式基点插值法(PIM)形函数

2.3.1 多项式基PIM形函数推导

2.3.2 多项式基(PIM)的性质

2.4 径向基点插值(RPIM)形函数

2.4.1 径向基点插值(RPIM)形函数推导

2.4.2 径向基点插值(RPIM)的性质

2.5 小结

3 径向基点插值无网格法形函数的程序编制与算例分析研究

3.1 程序的编制

3.1.1 编程语言

3.1.2 程序设计的相关问题

3.1.3 程序流程图

3.1.4 程序结构和数据结构

3.2 径向基函数形函数算例分析

3.2.1 问题描述

3.2.2 形状参数的影响

3.3 三维RPIM无网格法形函数

3.3.1 三维RPIM形函数算例分析

3.4 小结

4 基于径向基点插值无网格法(RPIM法)研究

4.1 引言

4.2 径向基点插值无网格法

4.2.1 RPIM公式

4.2.2 数值计算

4.2.3 数值积分的实现过程(高斯积分)

4.3 程序设计的相关问题

4.3.1 支持域及影响域

4.3.2 背景网格

4.3.3 施加本质边界条件的方法

4.3.4 径向基函数(RBFs)中的形状参数

4.4 程序说明

4.4.1 流程图

4.4.2 程序说明

4.5 数值算例

4.6 小结

5 基于径向基点插值无网格法(RPIM法)影响参数的研究

5.1 RPIM中的形状参数

5.2 影响域尺寸

5.3 多项式基函数的个数影响

5.4 场节点布置密度的影响

5.5 小结

6 基于径向基点插值无网格的应用研究

6.1 受集中力的桥墩

6.2 开洞墙体的研究

6.3 重力坝模型计算

6.3.1 引言

6.3.2 工程概况

6.3.3 计算结果整理分析

6.4 小结

7 结论与展望

7.1 结论

7.2 展望

致谢

参考文献

附录