分数微分对流-弥散方程反问题研究

摘要

分数微分对流-弥散方程（简称FADE）是研究多孔介质中溶质运移的非费克反常扩散行为的基本模型。本文主要探讨空间FADE模型中若干参数的反演问题，包括FADE正问题的数值求解、FADE模型参数与源项的数值反演算法等。
　　文中首先简要回顾了分数阶微积分的几种定义，探讨了分数阶导数的性质，并与整数阶导数的性质进行了比较。同时，基于Levy运动定律给出了一般的FADE模型。
　　第三章讨论了FADE模型正问题的求解。通过使用改进的Grunwald公式对分数阶导数进行数值离散，给出了有限区域上Dirichlet边值条件下空间FADE的差分格式，并分析了稳定性和收敛性，给出了数值算例。最后讨论了分数微分阶数对正问题解的影响，数值结果表明分数微分阶数趋近于2时，解误差相对较小。
　　第四章着重探讨分数微分对流-弥散方程的参数反演问题。给出了参数反演的最佳摄动量正则化算法，并对分数微分阶数、弥散系数、平均流速及源项等参数分别进行了数值反演模拟。在最佳摄动量算法的基础上，提出同伦正则化算法应用于模型参数和源项的同时反演，给出了数值算例。文中还针对影响最佳摄动量算法实施的因素，讨论了分数微分阶数、数值微分步长、正则参数、同伦参数以及初始迭代点的选取等对反演结果的影响。数值结果表明文中所应用的算法至少对于FADE第一边值问题的参数反演是有效的。
　　第五章总结了本文的主要工作，同时对FADE反问题的后续研究进行了展望。

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第一章 引言

1.1 研究背景和意义

1.2 研究现状及其进展

第二章 预备知识

2.1 分数阶微分算子的定义和性质

2.2 分数阶导数的比较

2.3 分数微分对流-弥散方程的导出

第三章 分数微分对流-弥散方程的解

3.1 FADE的解析解

3.2 FADE的数值解

3.3 本章小结

第四章 分数微分对流-弥散方程参数及源项反演

4.1 FADE反问题

4.2 分数微分阶数、平均流速与弥散系数的反演

4.3 源项的数值反演

4.4 分数微分阶数、平均流速、弥散系数与源项的联合反演

4.5 本章小结

第五章 总结与展望

5.1 主要结论

5.2 后续工作展望

致谢

参考文献

在学期间公开发表论文及著作情况

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