一类偏微分方程数值求解的交替方向算法研究

摘要

偏微分方程在自然科学与工程技术中有着广泛的应用，许多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分方程。近几十年来，偏微分方程的发展非常迅速，研究成果层出不穷。偏微分方程的数值求解方法一向是研究的热点，其中交替方向隐式（Alternating direction implicit，简称ADI）法是一种离散过程简单、计算速度快、求解精度高，便于编程实现的求解算法。本文系统地研究了一类变系数偏微分方程数值求解的交替方向隐式法，主要包括以下几个方面：
　　1.阐述了偏微分方程的相关背景和研究意义，概述了国内外研究新进展，对本文的研究工作做了详细的安排，给出了相关的预备知识。
　　2.对一类变系数偏微分方程（包括二维抛物型方程、二维和三维椭圆型方程）给出了利用交替方向隐式法（ADI）求解的迭代格式，建立了相应的截断误差分析理论，给出了数值模拟及结果分析，并对在迭代过程中的迭代参数进行讨论。
　　3.对提出的一类变系数偏微分方程的交替方向隐格式分别进行了算法设计，编写了通用的求解程序。

目录

声明

1 绪论

1.1 课题研究的背景及意义

1.2 国内外研究进展

1.3 本文的研究工作

1.4 预备知识

1.4.1 离散格式

1.4.2 交替方向法

2 二维变系数抛物型偏微分方程的数值求解

2.1 离散过程

2.2截断误差分析

2.3 数值实验

算例一

算例二

2.4 本章小结

3变系数椭圆型偏微分方程的数值求解

3.1 二维变系数椭圆型方程的数值求解

3.1.1离散过程

3.1.2 截断误差分析

3.1.3 数值实验

3.2三维变系数椭圆型偏微分方程的数值求解

3.2.1 离散过程

3.2.2 截断误差分析

3.2.3数值实验

3.3 本章小结

4迭代参数的选择

4.1迭代参数的选择

4.2 本章小结

5 结论与展望

致谢

参考文献

附录

附录一

附录二