（近）不可压缩平面弹性问题的位移-压力混合重心插值配点法

摘要

有限元方法是数值分析弹性力学问题的主要方法，然而利用经典的有限元方法（如线性元）求解（近）不可压缩问题时会出现体积锁定现象，因而对于处理（近）不可压缩平面弹性问题，往往需要采用特殊的数值求解方法。 通过引入人工压力变量，将弹性本构方程以应力、应变和压力表达，建立求解（近）不可压缩平面弹性问题的位移-压力方程和（近）不可压缩条件方程的耦合偏微分方程组边值问题。 对于规则区域的（近）不可压缩平面弹性问题，利用张量积型重心Lagrange插值近似二元函数，得到计算插值节点处偏导数的偏微分矩阵。采用配点法离散不可压缩条件下的弹性控制方程，利用偏微分矩阵直接得到弹性控制方程的矩阵形式离散表达式。位移和力边界条件采用重心Lagrange插值离散，利用附加法施加边界条件，得到求解不可压缩平面弹性问题的过约束线性代数方程组，应用最小二乘法求解过约束方程组，得到不可压缩平面弹性问题的位移数值解。 对于不规则区域（近）不可压缩平面弹性问题，将不规则区域嵌入到一个规则区域。弹性控制方程的离散与规则区域的离散方式相同。不规则边界点上的位移和力边界条件利用重心Lagrange插值离散。采用附加法施加边界条件，求解得到规则区域上每个计算节点处的位移数值解，应用重心Lagrange插值计算得到不规则区域内每个插值节点处的位移值。 采用重心插值配点法求解梁方程时，随着计算节点数量的持续增加，其计算精度将逐步下降。通过对降阶计算重心插值配点法的研究，可为数值求解梁方程提供一种数值稳定性好、计算精度高的新方法。论文第五章基于重心Lagrange插值及其微分矩阵，推导了梁方程降阶计算重心插值配点法的公式，并通过数值算例验证其有效性。 计算程序采用MATLAB编写，论文提供7个（近）不可压缩问题和2个梁方程降阶计算的数值算例，验证了位移-压力混合重心插值配点法和降阶法的有效性和计算精度。

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