基于有限域上正交矩阵构造最佳扩散层

摘要

起扩散作用的密码学构件在分组密码设计中是一个重要的研究热点。本文致力于此方面研究，提出了利用正交矩阵去进行构造的一种新思路，利用正交矩阵构造扩散层，较之以往主要采用线性码、循环矩阵、柯西矩阵、范德蒙矩阵等在求出逆矩阵和特征值等方面会带来非常的便利。具体来说，本文的主要工作如下：
1． 在实数域上可以将任意非奇异矩阵按一定方式化成正交矩阵，但在有限域GF (28 )上有一部分非奇异正交矩阵是不能如此化成正交矩阵的。为此，我们提出了两种构造正交矩阵的方法：
方法1 随机选取矩阵并对此矩阵进行正交化，因为选取矩阵是随机的，所以在构造过程中会有很多矩阵因不能完成正交化而被筛掉。
方法2 选取几个具有一定特点的向量，对其进行正交化，在每一步正交化的过程中出现不能正交化的问题时，只需要对向量进行局部调整就可以完成当前正交化，所以理论上这样每一次都可以构造出正交矩阵。
2．建立了若干个关于判定有限域GF (28 )上正交矩阵分支数方面的定理及推论，由此给出了筛选出分支数最大且无特征向量的正交矩阵的算法。该部分的主要结论有：
（1）正交矩阵的k阶子式等于零的充要条件是其余子式等于零；
（2）若正交矩阵所有k阶子式非零则该矩阵所有n-k阶子式非零；
（3）正交无零元矩阵分支数达到最大的充要条件为其所有阶子式非零；
（4）对正交矩阵A计算行列式则A无特征向量。
3．对构造并筛选分支数最大的正交矩阵的算法进行了编程实现，并对结果考察分析了一些情形出现的概况。