基于无网格和点密度方法的连续体与多相材料拓扑优化研究

摘要

拓扑优化相对于传统的尺寸优化和形状优化相比较具有更高的优化效益。连续体结构拓扑优化是结构优化中的难点和热点问题，也是结构优化领域的前沿课之一。本文以连续体结构为研究对象，分别就连续体结构拓扑优化的材料插值模型方面；连续体结构拓扑优化中的无网格、点密度求解算法方面；消除拓扑优化中数值计算不稳定性方面；拓扑优化方法在多相材料拓扑优化优化算法方面和拓扑导数技术在多相材料拓扑优化中的应用等几个方面深入而系统地研究了连续体结构拓扑优化的相关理论和应用。在研究比较了连续体结构拓扑不同表达方法基础上，有针对性地建立了连续体结构拓扑优化的表达公式，通过合理的无网格、点密度优化算法，在优化过程中避免了数值计算不稳定性现象的出现，从而实现了连续体结构拓扑优化问题的稳定可靠求解。将拓扑导数技术应用于多相材料拓扑优化领域，取得了较好效果。
　　完成的主要工作和取得的研究成果如下：
　　1.将无网格伽辽金法引入到基于帕累托最优理论的连续体结构拓扑优化设计之中。在优化过程中,采用紧支径向基函数为基础建立形函数，选取节点的相对密度作为设计变量,建立了具有高阶连续性的密度场函数，以结构的柔顺度最小化作为优化目标,结构体积作为约束条件，建立结构拓扑优化的数学模型。将单目标拓扑优化问题转化为一个多目标拓扑优化问题，结合拓扑导数技术，以追踪帕累托最优曲线上点的方式寻求最优解。从而克服了以有限元方法为基础的帕累托最优拓扑优化方法的数值不稳定现象。通过求解经典算例，并与文献中方法的优化结果相比较分析，说明了本方法的正确性和有效性。
　　2.在双向渐进结构优化方法中，提出一种以高阶单元节点密度作为设计变量的优化方法，从而使设计区域内的密度场函数具有高阶连续性。建立了相应的拓扑优化数学模型。给出了基于高阶单元节点密度的求解过程。应用节点密度法对典型算例进行了拓扑优化设计计算，结果表明节点密度方法能够得到具有清晰拓扑布局的优化结果，并真实的反应了结构的布局细节。
　　3.在双向渐进结构优化方法中引入无网格点密度近似方案，以紧支径向基函数作为Shepard插值函数的权函数，建立紧支Shepard近似函数，构造了高阶光滑的密度场函数，从而改善了双向渐进结构优化方法的数值稳定性，并且满足边界条件，可以方便的施加外力，无需额外处理。通过数值算例表明，该方法能有效避免棋盘格、网格依赖性和灰度单元等数值不稳定现象。
　　4.在基于节点密度的双向渐进结构优化方法的基础上，将该方法推广到多相材料优化领域。建立了以柔顺度最小化为目标函数、节点密度为设计变量的多相材料拓扑优化数学模型，推导了符合多相材料特征的敏度分析过程、敏度数组，给出了相应的求解算法。并结合数值算例，通过不同的材料特性，详细讨论并演示了材料特性对拓扑结果的影响规律。
　　5.将基于拓扑导数的优化方法推广到多相材料优化领域。根据多相材料的特点提出了杨氏模量插值函数，并以此为基础给出了多相材料拓扑导数和相应的优化方法，并进行了案例验证。
　　6.将基于帕累托最优理论的拓扑优化方法推广到多相材料拓扑优化之中，引入杨氏模量插值函数和与其相关的拓扑导数，建立了基于帕累托最优理论的多相材料拓扑优化数学模型，给出了优化计算流程。

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第一章 绪论

1.1 选题缘由和意义

1.2 连续体结构拓扑优化的研究进展

1.3 无网格拓扑优化的研究进展

1.4 多相料结构拓扑优化的研究进展

1.5 拓扑优化方法的比较

1.6论文的主要研究思路和研究方法

第二章 基于无网格技术的帕累托最优拓扑优化

2.1 引言

2.2 EFG法理论基础和离散模型

2.3 基于无网格方法的优化算法

2.4 算例分析

2.5 小结

第三章 基于节点密度的渐进结构拓扑优化

3.1 引言

3.2 基于Shepard函数的节点密度插值方法

3.3 基于节点密度的优化算法

3.4 算例分析

3.5 小结

第四章 基于无网格点密度的渐进结构拓扑优化

4.1 引言

4.2基于Shepard函数的无网格点密度数学模型

4.3 基于无网格点密度的优化算法

4.4 算例分析

4.5 小结

第五章 基于节点密度的多相材料优拓扑优化

5.1 引言

5.2 基于Shepard函数的节点密度插值方法

5.3 基于节点密度的优化算法

5.4 算例分析

5.5 小结

第六章 拓扑导数方法在多相材料拓扑优化中的应用

6.1 引言

6.2 拓扑优化数学模型与材料插值模型

6.3 拓扑导数

6.4 收敛准则与优化算法

6.5 算例分析

6.6 小结

第七章 帕累托最优理论在多相材料拓扑优化中的应用

7.1 引言

7.2 拓扑优化数学模型与材料插值模型

7.3 拓扑优化算法

7.4 算例分析

7.5 小结

第八章 结论和展望

8.1 研究结论

8.2研究展望

参考文献

致谢

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