一类离散SIS传染病模型的动力学性态分析

摘要

随着传染性疾病的大肆流行，人们关于传染病的研究越来越多。传染病模型主要分为连续模型和离散模型两大类。因为传染病模型的数据大多采用离散时间，因此离散传染病模型的描述更为合理。离散传染病模型的求解问题是传染病模型研究过程中的重中之重。关于离散传染病模型的研究主要集中于模型的平衡性，持久性，分支理论。
　　在大量传染病模型研究的基础上，本文构造出一类具有指数型发生率的离散SIS传染病模型。这类指数型发生率的离散SIS传染病模型是在仓室理论基础上建立的。所研究的人群分为易感者和染病者。通过一定的控制措施，疾病的传播速度降低，疾病的发生率可调控为指数型发生率。因为易感者是通过上一刻的染病者被传染的，因此疾病的发生率也与上一时刻的染病者数量存在密不可分的关系。
　　根据离散SIS传染病模型的主要的研究内容和研究方向，本文主要的工作和内容如下：
　　首先，在精确分析和合理假设的情况下，建立了一个具有指数型发生率的离散SIS传染病模型。讨论了这个具有指数型发生率的离散SIS传染病模型的平衡点的稳定性，分析了该模型的持久性，通过稳定性理论，得到了模型无病平衡点的全局渐近稳定性，以及有病平衡点的局部渐近稳定性，运用数值模拟的方法验证了理论成果,并展示了模型动力学性态的复杂性。
　　其次，在已构造具有指数型发生率的模型的基础上，建立了一个具有时滞的离散传染病模型。讨论了这个时滞模型的平衡点的存在性和稳定性，经过分析可知，这个时滞模型在有病正平衡点不稳定情况下出现了flip分支，通过中心流形理论证明了该模型的flip分支是2周期稳定的，最后运用数值模拟验证了该flip分支是2周期稳定的。
　　再次，分析了一个具有饱和恢复率和具有指数型发生率的离散SIS传染病模型。证明了该模型存在一个无病平衡点和两个有病平衡点，并且该模型的无病平衡点是全局渐近稳定的，因为计算的复杂性，采取数值模拟的方法证明了有病平衡点的稳定性，结果显示这个模型在其有病平衡点不稳定时会出现后向分支。
　　最后，改进了一个具有指数型发生率的离散SIS传染病模型，讨论了该模型的无病平衡点和有病平衡点的稳定性。结果显示，其无病平衡点是全局渐近稳定的，其有病平衡点是局部渐近稳定的，当其有病平衡点不稳定时，该模型在有病平衡点处可产生neimark-sacker分支，并通过数值模拟的方法，验证了研究结果。

目录

1绪论

1.1研究背景及意义

1.1.1研究背景

1.1.2研究意义

1.2研究现状

1.2.1国外研究现状

1.2.2国内研究现状

1.3本文主要工作及内容安排

1.3.1本文主要工作

1.3.2内容安排

2预备知识

3一类具有指数型发生率的离散SIS模型

3.1离散SIS模型

3.2平衡点的稳定性

3.2.1无病平衡点的稳定性

3.2.2地方病平衡点的稳定性

3.3 模型的持久性

4一类具有时滞的离散SIS模型的flip分支

4.1 离散SIS时滞模型

4.2模型的平衡点的存在性

4.2.1无病平衡点的稳定性

4.2.2有病平衡点的稳定性

4.3 flip分支

5具有饱和恢复率和指数型发生率的SIS模型的后向分支

5.1具有饱和恢复率和指数型发生率的离散SIS模型

5.2平衡点的存在性

5.2.1基本再生数

5.2.2平衡点的存在性

5.3平衡点的后向分支

5.3.1平衡点的稳定性

5.3.2有病平衡点的稳定性及后向分支

6一类具有指数型发生率SIS模型的Neimark-Sacker分支

6.1改进的离散SIS模型

6.2平衡点的稳定性

6.3 Neimark-Sacker分支

7总结与展望

7.1本文总结

7.2研究展望

致谢

参考文献

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