非线性杆中的孤波与复杂动力行为研究

摘要

非线性金属杆件是很多结构物的基本组成部分，当金属杆受力发生变形时就必须克服晶格对变形的抵抗力，其中Peierls-Nabarro(P-N)力是诸多障垒中很基本也很重要的一种。本文系统地研究了计及P-N力效应和材料粘性效应的一维金属杆，在不同扰动作用下的振动以及非线性波的传播问题。通过哈密顿变分原理建立了描述杆中非线性波的运动微分方程，这是受扰的Sine-Gordon(SG)型方程。从数值计算和理论分析两个方面描述和预测系统在不同扰动作用下的动力响应，发现金属杆中不仅存在扭结波，而且在一定条件下，杆的运动呈现出混沌的特征。 1.通过数值计算，系统地研究了计及P-N力和材料粘性效应的一维有限长金属细杆，在应变为零的边界条件和位移沿空间单峰分布的初始条件下，受到沿空间均匀分布、随时间简谐变化的轴向外力扰动时的动力响应。 利用状态变量的时程曲线、时空曲面、功率谱密度函数、最大Lyapunov指数、Poincaré映射、相轨迹图等手段，给出了周期扰动的幅值和频率、初始条件、P-N力的幅值和频率、粘性效应、杆长诸因素对系统动力响应的影响。 发现了当杆的几何条件和材料性质发生变化时，显示出4种典型的动力行为：与空间位置无关的简谐运动、单波的简谐运动、单波的准周期运动和单空间模态的混沌运动。给出系统发生非规则运动的几何条件和材料性质。 2.将石油工程中的钻柱简化为半无限长杆，计入杆中的P-N力效应和材料粘性效应，数值研究了杆端施加随时间简谐变化的外力时，外力的幅值和频率以及P-N力对非线性波的传播特征以及杆中各点振动特征的影响。发现了杆中所有质点运动的定性特征相同，但振荡的幅值沿着杆向有减小的趋势；杆中的质点在不同的扰动及物理特征下，分别会呈现出1T、2T、3T、13T的周期运动和准周期运动，并通过Poincare映射显示出运动向稳定的周期运动和准周期运动收敛的平衡点和极限环。在一定的扰动和材料性质下，半无限杆中的质点会呈现出混沌振动的特征，从而给出钻柱发生非规则运动的条件。 3.定性研究了简谐外力扰动作用下计入P-N力效应和耗散效应的无限长一维金属杆中孤立波的传播特征，给出发生混沌振动的阈值条件。利用集结坐标法将受微扰的S-G型系统转化为常微分系统。 通过Melnikov方法分析发现：受扰动力系统出现混沌特征时外力幅值与阻尼系数的比值(f/α)c随外力频率的增大而增大；受扰系统不存在超次谐和偶阶次谐周期分叉轨道，系统是通过奇阶次谐分叉通往混沌。分析了P-N力对系统混沌转化的影响：外力频率较小时，混沌阈值(f/α)c随P-N力幅值的增大而增大，外力频率较大时，阈值(f/α)c随P-N力幅值的增大而减小。 4.利用行波法研究了考虑P-N力和材料粘性效应的一维无限长金属杆，在沿杆向非均匀分布、随时间简谐变化的载荷作用下的动力响应。得到了系统在未扰情况下的摆动型周期轨道、旋转型周期轨道和异宿轨道的解析式。 利用Melnikov方法给出系统产生混沌运动以及周期轨道发生次谐分叉的阈值条件，发现摆动型周期轨道是通过奇阶次谐分叉通往混沌运动，而旋转型周期轨道是通过偶阶次谐分叉达到混沌运动的。分析了P-N力的幅值和频率对于混沌转化的影响，随着P-N力幅值和频率的逐渐增大，发生混沌的阈值先是急剧下降，接着有所上升，阈值均存在最低点。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：符号说明

第一章绪论

1.1问题的提出

1.2 Sine-Gordon方程应用与求解的文献综述

1.2.1 Sine-Gordon方程的应用

1.2.2 Sine-Gordon方程的求解

1.2.3受扰Sine-Gordon方程的求解

1.3本文的主要研究工作

第二章计入耗散效应时非线性有限长杆的动力响应

2.1引言

2.2控制方程

2.3差分格式

2.3.1建立差分格式

2.3.2差分格式的可靠性分析

2.3.3差分格式的数值验证

2.4外力幅值对运动的影响

2.5外力频率对运动的影响

2.6初始呼吸子的相位对运动的影响

2.7 P-N力的幅值对运动的影响

2.8 P-N力的频率对运动的影响

2.9阻尼对运动的影响

2.10杆长对运动的影响

2.11小结

第三章半无限长杆非线性波的传播特征

3.1引言

3.2控制方程

3.3杆端扰动的幅值对运动的影响

3.4杆端扰动的周期对运动的影响

3.5 P-N力的幅值对运动的影响

3.6小结

第四章无限长杆中孤立波传播的定性分析

4.1引言

4.2集结坐标

4.3 Melnikov分析

4.4 P-N力的影响

4.5次谐轨道分析-通往混沌的途径

4.6小结

第五章变载荷作用下系统的定性分析

5.1引言

5.2控制方程

5.3行波解

5.4定性分析

5.5亚谐分叉

5.5.1摆动型周期轨道

5.5.2旋转型周期轨道

5.6数值模拟

5.7 P-N力的影响

5.8小结

附 录

第六章全文总结

参考文献

攻读学位期间发表的学术论文

致谢

博士学位论文独创性说明