李对称分析法在几类偏微分方程求解中的应用

摘要

19世纪以来，随着非线性偏微分方程在现实生活中的广泛运用，对非线性偏微分方程求解问题的研究已逐渐成为热点。然而，求解非线性偏微分方程极具挑战性，目前虽然已经提出了许多求解非线性偏微分方程的方法，但由于没有统一的求解非线性偏微分方程的方法，因此我们需要继续寻找更行之有效的方法。本文正是基于此目的，依据李对称方法研究了三类非线性偏微分方程的求解问题，三类偏微分方程分别为：ill-posed Boussinesq方程、二元Camassa-Holm方程和五阶时间分数阶KDV方程。本文首先根据李对称法的基本思想对以上方程进行分析，得到了这些方程的向量场，相似约化，进一步得出这些方程所对应的约化方程。其次，根据幂级数法的相关理论得出了方程的幂级数解。最后，结合隐函数定理证明了所得幂级数解的收敛性。
　　本文的主要内容如下：
　　第一章为绪论，首先简要回顾了偏微分方程（包括分数阶偏微分方程）的研究背景以及求解偏微分方程的几类方法，其次介绍了李对称分析法的研究背景并详细的阐述了李对称方法的基本思想。
　　第二章为预备知识，该部分叙述了与李对称方法以及分数阶微分方程相关的定义。
　　第三章用李对称分析法求解ill-posed Boussinesq方程，本章给出了ill-posed Boussinesq方程的具体表达形式以及所代表的物理意义，并用李对称分析法将ill-posed Boussinesq方程化为常微分方程，最后得出该方程相应的幂级数解，证明了所得幂级数解的收敛性。
　　第四章用李对称分析法求解二元Camassa-Holm方程，同样给出了该方程的具体形式以及物理意义，运用李对称方法获得了二元Camassa-Holm方程的几种不同的约化方程，并且就其中某一个约化方程给出了详细的幂级数解求解过程和收敛性证明过程。
　　第五章用李对称分析法求解五阶时间分数阶KDV方程，结合预备知识中有关分数阶偏微分方程的基础理论对五阶时间分数阶KDV方程进行分析，得出了相应的分数阶常微分方程，并给出了具体的转化过程。最后，根据幂级数法求得了分数阶微分方程对应的幂级数解，且证明了所得幂级数解的收敛性。
　　第六章为总结与展望，本章对全文所做主要工作进行总结，并提出了一些有待解决的问题，且对之后的研究方向进行了展望。

目录

声明

符号说明

第一章 绪论

1.1 偏微分方程的研究背景和现状

1.2 李对称分析方法的研究背景和基本思想

1.3 本文的主要工作

第二章 预备知识

2.1 李群相关定义

2.2 分数阶微分方程相关的定义及公式

第三章 用李对称法求解 ill-posed Boussinesq方程

3.1 对 ill-posed Boussinesq方程进行李对称分析

3.2 求 ill-posed Boussinesq方程的对称群

3.3 求 ill-posed Boussinesq方程的对称约化方程

3.4 求 ill-posed Boussinesq方程的近似幂级数解

3.5 本章小结

第四章 用李对称方法求解二元 Camassa-Holm方程

4.1 对二元 Camassa-Holm方程进行李对称分析

4.2 二元 Camassa-Holm方程的对称群

4.3 二元 Camassa-Holm方程的对称约化

4.4 二元 Camassa-Holm方程的幂级数解

4.5 本章小结

第五章 用李对称方法求解五阶时间分数阶 KDV方程

5.1 分数阶非线性演化方程的对称分析

5.2 五阶时间分数阶 KDV方程的对称分析

5.3 五阶时间分数阶 KDV方程的幂级数解

5.4 本章小结

第六章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的学术论文