Adomian分解方法和近似对称方法在偏微分方程求解中的应用

摘要

获得非线性偏微分方程(PDEs)的精确解是非常困难的，而且没有统一的解法．对复杂问题的处理人们一般采用近似解法和数值解法．Adomian分解法是一个非常有效的求解PDEs的方法.该方法具有强大的优越性，其解为级数形式、收敛快、计算方便且容易在计算机上运算.它的核心思想是：把方程拆成n个部分，把解拆成n个项，同时非线性项用一种特殊的多项式An进行替代，然后由低阶解分量逐渐向高阶解分量逐一解出，从而得到方程的近似解析解，也可以得到精确解.该方法无需进行任何变换，很好的保持了原方程的物理性质.本文利用数学软件对近似解与精确解做出数值分析，误差很小，验证了该方法的有效性，其中困难之处在于对非线性项An的处理.
　　Lie对称方法在数学、物理和工程领域中有着广泛的应用．近似对称方法是经典Lie对称方法的一个新的发展方向，用它可以构造近似解析解、近似守恒律、近似对称分类等．对含参数(常数或函数)扰动PDEs方程进行对称分类是近似对称方法的重要应用之一．用近似Lie算法对一类含参数扰动PDEs确定参数形式及其对应近似对称叫做扰动PDEs的近似对称分类问题．算法的核心是把确定对称分类问题转化为求解确定方程组的问题．
　　本文主要工作如下：
　　第一，应用Adomian分解方法(ADM)求解非线性Schr·dinger方程和耦合KdV-Schr·dinger方程组的近似解析解.
　　第二，应用Adomian分解方法求解非线性Schr·dinger方程的精确解，并且对近似解和精确解应用数学软件做出了数值分析.
　　第三，对含参数修正扰动KdV方程:此处公式省略进行了近似对称分类，并选取其中一类构造了近似不变解.

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第一章 绪论

1.1 Adomian分解方法概述

1.2 近似对称方法概述

1.3 本文的主要工作

第二章 Adomian分解方法求偏微分方程的近似解析解

2.1 Schr?dinger方程的近似解析解

2.2 耦合KdV-Schr?dinger方程组的近似解析解

2.3 小结

第三章 Adomian分解方法求偏微分方程的精确解

3.1 Schr?dinger方程的精确解

3.2 小结

第四章 变系数扰动修正KdV方程的近似对称

4.1 变系数扰动修正KdV方程的近似对称及分类

4.2 变系数扰动修正KdV方程的近似不变解

4.3 小结

第五章 总结与进一步工作展望

5.1 本文主要结论

5.2 进一步工作的展望

参考文献

致谢

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