块对称三对角不定线性系统的预处理技术

摘要

在实际应用中经常会遇到对称不定线性系统问题的求解,此类问题一般具有块对称三对角不定性以及大型稀疏结构。本文研究目的在于对块对称三对角不定系统给出合适的预条件矩阵,改善计算问题的条件数,使迭代法的收敛速度大幅提高。
　　对于大型系统的求解,直接解法的存储要求太高,所以通常用迭代法进行求解。使用迭代法求解方程组可以充分利用矩阵的稀疏性,节省大量的计算储存空间。近几年,三对角线性系统的迭代法有了新的发展,特别是对于预条件矩阵的引用,很大程度的提高了迭代法的收敛速度,满足了人们的计算需求。扰动分析是研究计算问题在微小扰动情况下,新问题与原问题精确解之间误差的距离。在数值计算研究中具有重要作用。
　　本文研究一类块对称三对角不定系统的预处理技术。在充分了解研究鞍点问题的预条件技术的前提下,注意到矩阵分解在预条件选取的重要作用。把鞍点问题的一种矩阵分解方法推广至块对称三对角不定系统。文中首先研究了块对称三对角不定系统的广义Cholesky分解,利用这种矩阵分解法构造预条件矩阵,利用Weyl定理证明了新的预条件矩阵使线性方程组具有更小的条件数。其次利用矩阵扰动理论,研究块对称三对角不定矩阵的广义Cholesky分解的扰动分析,给出这种矩阵分解的几个范数型扰动界以及分量型扰动界。在数值实验部分,用SYMMLQ方法对预条件矩阵进行迭代,得出不同预条件矩阵的选择会直接影响最终迭代次数,从而影响迭代速度,通过数值算例验证了所给数值方法的有效性。

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1 引言

1.1 选题背景

1.2 本文相关知识

1.2.1 预处理方法简介

1.2.2 迭代法简介

1.2.3 矩阵扰动分析简介

1.3 本文主要内容和创新点

2 鞍点问题的预处理

3 块三对角系统的预处理

3.1 分块非对称情形

3.2 分块对称情形

4 扰动理论

4.1 范数型扰动界

4.2 分量型扰动界

5 数值算例

6 结论

参考文献

致谢

个人简历、在学期间的研究成果及发表的论文