两类发展方程的H-Galerkin混合有限元数值模拟及其误差分析

摘要

该文利用H<'1>-Galerkin混合有限元方法讨论了两类问题-抛物型Sobolev方程初边值问题和双曲型热传导方程初边值问题的数值模拟.全文共分三章.第一章为引言部分.第二章.流体在穿过裂缝岩石中的渗透,土壤中湿气的迁移,不同介质间的热传导等实际数学物理问题都可由下列抛物型Sobolev方程初边值问题刻划:u<,t>=∨·{a(x,t)∨u<,t>+b(x,t)∨u}+f(x,t)u(O,t)=u(1,t)=0,(1.1)u(x,0)=φ(x),ut(x,0)=ψ(x).对上述问题,文献[4-8]利用Galerkin-有限元法对其进行了数值逼近,得到了H<'1>模,L<'2>模和L<'∞>模的最优阶误差估计.该章中我们采用H<'1>-Galerkin混合有限元法,给出了H<'1>-Galerkin混合有限元半离散和全离散格式,证明了H<'1>-Galerkin混合有限元解与真解的H<'1>模,L<'p>模和L<'2>模的最优阶误差估计.该方法的优点在于:有限元剖分不需要拟一致条件;混合有限元空间中的函数可取不同次数的多项式;而且不必满足LBB一致条件,能同时高精度逼近待求函数和待求函数的伴随向量函数.第三章,我们讨论了双曲型热传导方程的数值模拟.作为普遍的自然现象,热传导满足热力学第一定律,即能量守恒定律.然而,利用不同的热流密度本构关系(热流密度矢量与温度梯度之间的关系),将得到不同的热传导方程.而该文利用H<'1>-Galerkin混合有限元法所讨论的热传导方程是由Cattaneo-Vernotte本构关系得到的,它不仅含有经典热传导方程的某些特性,还含有波动方程的某些特性,其表达式为:u<,t>+τ<,o>u<,tt>=au<,xx>,(x,t)∈(0,1)×(0,T).该文就下列初边值问题(公式略)(6.1)给出了H<'1>-Galerkin混合有限元法的半离散和全离散数值格式,并通过严格的数值分析理论,得到了关于未知函数及其伴随向量函数的最优阶逼近估计.

目录

独创声明

第一章引言

第二章线性Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元法的数值模拟及其误差分析

1一维空间的H1-Galerkin混合有限元格式

2半离散问题解的存在唯一性

3半离散格式的误差估计

4全离散格式的误差分析

5两个和三个变量的情形

6二、三个变量情形的全离散格式的误差估计

第三章一维双曲型热传导方程初边值问题的H1-Galerkin混合有限元法的数值模拟

1 H1-Galerkin混合有限元格式

2半离散问题解的存在唯一性

3半离散格式的误差估计

参考文献

致谢