Banach空间中非线性脉冲Volterra积分方程的L解

摘要

本文主要在Banach空间上讨论一类非线性脉冲Volterra积分方程的Lploc解(其中p＞1).设E是Banach空间，J=[0，+∞)，0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，tk→+∞，δk＞0，k=1,2，…，0＜δk＜tk.令Lploc(J，E)={x|x：J→E强可测，且对任一T＞0，∫T0‖x(t)‖pdt＜+∞}.显然，对任一T＞0及x∈Lploc(J，E)，Bochner积分∫T0x(t)dt存在.Lp([0，T]，E)={x|x：[0，T]→E强可测，且∫T0‖x(t)‖pdt＜+∞}.我们讨论方程：x(t)=x0(t)+∫t0H(t，s，x(s))ds+0∑ak(t)Ik(-x(tk))，(1)其中x0(t)∈Lploc(J，E)，ak∈Lploc(J，R)，H：J×J×E→E，Ik∈C(E，E)，-x(tk)=1/δk∫tkk-δkx(t)dt.x∈Lploc是方程(1)的解是指x(t)满足方程(1)，t∈[0，+∞).方程(1)称为广义的脉冲Volterra积分方程.为叙述方便，我们列出下列条件：H1)p＞1，q＞1，1/p+1/q=1，x0∈Lploc(J，E)；H2)(i)H：J×J×E→E，H(t，s，x)对t，s分别强可测，对x连续；(ii)存在k：R+×R+→R+，k(t，s)≥0，b≥0使得‖H(t，s，x)‖≤k(t，s)+b‖x‖.这里∫t0k(t，s)ds∈Lploc(J，R)；H3)对任一有界集D()Lploc(J，E)，T＞0，x∈Dlimsuph→0x∈D∫T0‖H(t+h，s，x(s))-H(t，s，x(s))‖ds=0H4)存在g∈Lqloc(R)，g(t，s)≥0且对任一有界集D()E，α(H(t，s，D))≤g(t，s)α(D)，a.e.(t，s)∈J×J.而G(t)=(∫to(g(t，s))qdt)1/q∈Loloc(J，R)；H5)Ik∈C(E，E)，且‖Ik(x)‖≤Pk(‖x‖)这里Pk∈C(R+，R+)单调不减，k=1，2，…；H6)ak∈Lploc(J，R)，ak(t)=0，t∈[0，tk).本文在这六个假设成立的前提下讨论方程(1)的Lploc解，研究解集的结构.主要定理有：定理1若H1)、H2)、H3)、H4)、H5)和H6)成立，则方程(1)至少有一个Lploc解. 定理2设定理1的条件成立，则S={x∈Lploc(J，E)|x(t)满足方程(1)}连通紧致. 最后，给出一个实际例子说明定理1和定理2的应用.

目录

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1.引言

2.预备知识

3.Lp loc解的存在性

4.解集的结构

5.应用举例

参考文献

致谢

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