时标上二阶微分方程正解的存在性

摘要

许多重要的动力系统都是通过微分方程和差分方程来描述的,而时标上的动力方程可以把微分方程和差分方程作为它的两种特殊情况处理,开辟了数学研究的新领域.1988年,Stefan Hilger[1]首次介绍了时标理论,为统一研究连续型与离散型方程奠定了基础.时标理论具有广泛的应用背景,有着坚实的实际基础.它产生于生态学模型,神经网络模型,热传导模型以及经济学模型[2]等等.许多学者投入到这一新的数学领域研究中来,并产生了一系列优秀成果,参见文献[3]一[10].除了生物学上的应用,这种数学工具也己用来改进股票市场的计算模式.时标理论的研究,既是数学理论自身的发展需要,也是实际问题的需要,但时标上动力方程的基本理论尚未完全建立,因此有许多十分有意义的课题有待我们去研究发现,并把这一理论广泛应用于实际问题中.
　　本文主要利用Leggett-Williams不动点定理,锥中不动点指数定理,研究了时标上几类二阶动力方程边值问题正解的存在性,全文共分三章.
　　第一章讨论了时标上带p-Laplacian算子的二阶动力方程边值问题（公式略）三个正解的存在性.文献[18]中，作者用不动点指数定理得到了上述方程类似边值条件至少两个正解的存在性.文献[19]中，作者讨论了时标上带p-Laplacian二阶三点动力方程边值问题，利用Avery-Peterson不动点定理，得到了边值问题三个正解的存在性.本章利用Leggett-Williams不动点定理得到了边值问题至少三个正解的存在性.
　　第二章研究了时标上带积分边值条件的动力方程（公式略）正解的存在性.文献[12]在T=R时，作者利用Krasnosel'skii不动点定理讨论了上述边值问题至少存在一个正解的情况.文献[18]中，在T=R时，考虑了边值条件为u(0)=0,u(1)=∫10a(s)u(s)ds的二阶积分边值问题，利用Leggett-Williams不动点定理和锥拉伸压缩不动点定理得到多个正解的存在性.本章在时标上考虑了上述动力方程，利用锥中不动点指数定理，得到了上述边值问题至少一个正解和两个正解的存在情况.
　　第三章讨论了如下时标上二阶动力方程组（公式略）,相应的边值条件为（公式略）正解的存在性.文献[20]研究了含单参数的动力方程组两点边值问题正解的存在性.文献[9]在不要求非线性项具有单调性的情况下研究了一类二阶三点动力方程组边值问题正解的存在性.本章利用Leggett—Williams不动点定理讨论了上述动力方程三个正解的存在性.最后给出一个典型例子说明了所给结果的应用.