无界区域上一维线性薛定谔方程紧致差分数值模拟

摘要

本文考虑如下的薛定谔方程初值问题（公式略）的数值解。
　　区域的无界性给上述问题的数值求解带来很大的困难。目前，人工边界方法是解决此困难的有效方法之一。引入人工边界之后，无界区域就被划分为两部分：有界的计算区域和无界的外部区域。然后，就可以在人工边界上添加合适的人工边界条件，从而，在有限计算区域上的带人工边界条件的边值问题是原问题的很好的近似。因此，本文采用了两种构造人工边界的方法；一是基于帕德逼近和逆拉普拉斯变换，本文第二章第二节中采用了线性薛定谔方程的局部吸收边界条件；二是考虑有正厚度的”人工边界”，一个包围计算区域的人工层，使大部分外行的波都能被吸收，即完美匹配层(PML)方法。第三章第二节中，我们采用复坐标延伸法，使用了线性薛定谔方程的完美匹配层。由此，无界区域上的薛定谔方程就简化为有界的计算区域上的初边值问题。
　　有限差分方法是数值求解初边值问题的有效方法之一。采用传统的一阶和二阶有限差分格式很难得到高精度的数值解，除非使用大量的网格节点。然而，这会大大增加计算量和计算时间。为解决传统有限差分格式的缺点，一种自然的方法就是构造高阶的紧致有限差分格式。这种格式不仅可以在不增加网格节点的前提下提高数值解的精度，而且可以减少计算量。因此，本文第二章第三节、第三章第三节中，分别介绍了相应初边值问题的四阶紧致差分格式。在时间层上，用中心差商代替时间导数，得到时间上的二阶精度。为得到时间上的四阶精度，第二章第四节介绍四阶龙格-库塔方法。最后，我们给出了数值算例，证明了紧致差分格式的有效性。

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第一章 绪论

§1.1薛定谔方程的物理背景

§1.2人工边界方法简介

§1.3有限差分方法简介

§1.4国内外研究现状

第二章 基于人工边界条件的紧致差分数值模拟

§2.1 引言

§2.2 无界区域上线性薛定谔方程的人工边界条件

§2.3 线性薛定谔方程的紧致有限差分格式

§2.4 龙格-库塔方法

§2.5 数值算例

第三章 基于完美匹配层的紧致差分数值模拟

§3.1引言

§3.2无界区域上线性薛定谔方程的完美匹配层

§3.3线性薛定谔方程的紧致差分格式

§3.4 数值算例

参考文献

致谢