脉冲微分方程在几类生态模型中的应用

摘要

本文针对传染病防治、害虫治理等实际问题，建立了三类具有脉冲控制的数学生态模型，具体包括:一类具有非线性脉冲免疫接种的传染病模型、一类具有状态脉冲控制的捕食系统模型和一类具有两个状态脉冲的害虫治理模型。运用脉冲微分方程相关理论，分别讨论了三种模型的周期解和稳定性。并利用数值模拟进行验证，讨论了模型的生物意义。
　　第二章，建立了一类具有饱和传染率的脉冲免疫接种SIR传染病模型。由于受到疫苗资源等医疗条件的限制，对易感者进行脉冲免疫接种的比率具有饱和效应，因而采用非线性饱和函数来描述接种成功的比率。利用频闪映射的不动点理论，讨论了系统无病周期解的存在性。运用Floquet乘子理论和脉冲微分方程比较定理，讨论了无病周期解的稳定性。
　　第三章，建立了一类具有状态脉冲的Holling-Ⅲ类捕食系统模型，当捕食者的数量达到一定值时，通过人工收获捕食者，同时收获或添加食饵，使两者的综合收益达到最大。对无脉冲作用的系统进行定性分析，得到正平衡点存在且全局渐近稳定的条件。利用后继函数方法及脉冲微分方程几何理论，讨论了状态脉冲控制下系统阶一周期解的存在性，并证明了周期解是轨道渐近稳定的。利用数值模拟进行验证，讨论了系统的生物意义。
　　第四章，建立了一类具有两个状态脉冲控制的害虫治理模型。根据害虫对农作物的危害程度不同，采用释放天敌和喷洒农药相结合的综合防治策略。利用Dulac函数方法，讨论了无脉冲作用下系统正平衡点的全局稳定性。运用脉冲微分方程的Bendixson定理及轨道乘子理论，讨论了状态脉冲微分系统阶一周期解的存在性和轨道渐近稳定性。通过具体实例，利用数值模拟验证了结论的正确性。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 预备知识

1．3 本文的主要工作及研究内容

2 一类具有固定时刻非线性脉冲免疫接种的SIR传染病模型

2．1 生物背景与模型的建立

2．2 无病周期解的存在性与稳定性

3 一类具有状态脉冲控制的Holling-Ⅲ功能反应捕食系统

3．1 生物背景及模型的建立

3．2 无脉冲影响的系统平衡点的稳定性

3．3 脉冲作用下系统阶一周期解的存在性与稳定性

3．4 数值模拟及生物意义

4 具有两个状态脉冲的害虫综合治理模型的几何分析

4．1 生物背景及模型的建立

4．2 无脉冲作用的系统正平衡点及其稳定性

4．3 具有两个状态脉冲的系统周期解的几何分析

4．4 举例与数值模拟

5 结论与展望

参考文献

致谢

攻读硕士期间主要成果