分数阶微积分及其在生物传热传质中的某些应用

摘要

本论文由彼此相关而又独立的三章所组成.第一章为预备知识，简要介绍了本文所需要的数学工具，第二章和第三章具体讨论了分数阶微积分在生物传热传质中应用的两个例子.
　　 在第一章中，§1.1节简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概念及在与本文内容相关的几个领域内的研究进展，给出了Riemann-Liouville型分数阶微积分算子和Caputo型微积分算子的定义及主要性质.在§1.2节中，介绍了分数阶微积分的积分变换，包括Laplace变换和Hankel变换，这两种积分变换是求解分数阶微分方程的有力工具.在§1.3节中，给出了广义Mittag-Leffier函数Eα，β(z)的定义和它的某些重要公式。本章是以后各章的基础.
　　 在第二章中，我们将分数阶微积分应用到生物传热问题，研究了生物组织径向传热的分数阶热波模型。在§2.2节中，建立了在圆柱坐标下的径向传热
　　 方程
　　 假定局域热平衡条件下，给出了温升的分数阶微分方程
　　 应用Laplace变换和广义有限Hankel变换及其相应的逆变换得到了以Mittag-Leffier(M-L)函数表示上述问题温升的解析解
　　 在§2.3节中，对分数阶的阶数赋予特值α=0和α=1进行了讨论.当α=0时，此时的温升表达式为
　　 当α=1时，此时的温升表达式为
　　 并且通过数值作图的方法，展示了各种参数对温升的影响.
　　 在第三章中，我们将分数阶微积分应用到生物传质问题，研究了钠离子在分数阶反常扩散以及生物电势共同作用下跨肠壁的输运模型.在§3.2节分别给出了一维情形下钠离子在肠壁细胞间隙以及肠壁细胞内所满足的方程：
　　 在§3.3节中，应用Laplace变换法，得到了象函数(C)1的表达式
　　 在§3.4节中应用Laplace变换的终值定理给出了在平衡状态下细胞间隙钠离子稳态浓度分布的精确表达式：
　　 以及相应的细胞内钠离子稳态分布状态
　　 并对上述表达式进行了分析和讨论.

目录

文摘

英文文摘

英文目录

符号说明

第一章 预备知识

§1.1分数阶微积分简介

§1.2积分变换简介

§1.3特殊函数简介

第二章 生物组织径向传热的分数阶热波模型

§2.1背景简介

§2.2分数阶模型及其解析解

§2.3结果与讨论

§2.4总结

第三章 钠离子跨肠壁的分数阶反常扩散模型

§3.1背景简介

§3.2基本方程的建立

§3.3基本方程的求解

§3.4讨论

§3.5总结

参考文献

致谢

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