对流扩散方程的特征有限元方法

摘要

对流扩散方程作为偏微分方程一个很重要的分支，在众多领域都有着广泛的应用，如流体力学，气体动力学等.由于对流扩散方程很难通过解析的方法得到解析解，所以通过各种数值方法来求解对流扩散方程在数值分析中占有很重要的地位。在对流扩散方程中，若扩散项在物理过程中起主导作用，则用标准有限差分方法以及有限元方法求解就可以得到很好的数值结果。但是，若对流项是占主导地位，即对流的影响远大于扩散的影响，则会给数值求解带来很多困难，如数值震荡，数值的过度扩散，或者是二者皆有。在处理对流占优的对流扩散方程的数值方法中，很重要的一类方法就是特征线法，这一方法考虑沿特征线(流动方向)作离散，利用对流扩散问题的物理学特征，对于处理具有双曲性质的对流占优扩散问题具有无可比拟的优越性。它不仅可以从本质上减少非物理震荡和过多的数值弥散，而且对时间步长没有稳定性限制条件，并且沿特征方向的导数值远比沿时间方向相应的导数值小。
　　 对于特征线法，前人已经有了很多数学上的分析以及实际应用上的研究工作。上世纪六十年代人们构造了向前追踪的特征线方法(MOC)[32]，直到近年来，人们还在不断的改进这一方法，并将它们广泛的应用到许多实际问题。这类方法对于相对简单的问题比较容易实现，但是沿特征线向前追踪扭曲了原有空间网格，给计算带来了很多不便。1982年，Douglas和Russell在[24]中提出了沿特征线向后追踪的修正特征线法(MMOC)，克服了原有特征线法的缺点。这种方法也得到了广泛的应用，如[4]，[46]等将这类特征线法与混合元等方法结合来处理多孔介质混溶驱动问题。但是(MMOC)不能满足质量守恒，不久Douglas等又构造了校正对流项的特征线方法(MMOCAA)[22]，[23]该方法可以满足整体质量守恒。在[51]中，芮洪兴和Tabata也提出了一种新型的特征有限元方法，这种方法保持了对流扩散过程质量守恒的特性。在1990年Celia等人提出了欧拉-拉格朗日局部共轭法(ELLAM)[14]，这种方法不仅能保持质量守恒性，而且能够方便的处理边界条件，但是缺点是计算所得到的积分有一定的困难。芮洪兴和Tabata在2002年还提出了一种新的特征线方法[50]，这种计算格式在时间步长上具有二阶精度，并且是对称的和无条件稳定的。
　　 多孔介质中流体流动的数学物理模型在数学上表现为依赖于时间的强耦合的非线性偏微分方程组，该方程组结构复杂，只有在特殊的情形下才有解析解的表达式。故对其进行数值模拟也是计算数学的一项非常重要的课题。多孔介质流的模型通常由两部分组成，一是质量守恒，主要体现在物质的平衡，如注产体积、质量的平衡，这可以通过对流扩散方程来描述，另一个就是动量守恒，主要用各种速度与压力的关系式来描述，如作为经验公式引入的达西定律等。假设流体不可压缩，那么就可以简化为由强对流扩散方程和达西方程耦合的描述多孔介质混溶驱动问题的经典模型。对于这一经典模型，前人已经做了很多经典的研究分析工作，也得到了广泛的应用。Russell在[53]中对浓度方程运用特征有限元方法，对压力方程运用标准Galerkin方法分析了这一模型。用特征线方法求解浓度方程可以使方程对称化，增强了稳定性，减少时间截断误差，可以使用较大的时间步长，对压力方程用标准Galerkin方法只能求出压力，不能直接求出速度。Ewing和Russell在[25][28]中运用MMOC方法求解对流扩散方程，用混合元方法求解压力和速度方程，这种方法可以同时求出压力和速度，不需要通过对压力求微分来得到速度的近似值，从而减低了速度误差。
　　 本文的另一个研究重点是变网格方法。用有限元方法求解依赖于时间的问题，通常的做法是在空间采用有限元方法，而在时间方向上采用有限差分格式。以往人们提出的算法大都是限制在空间区域的固定有限元网格上。然而，在许多实际计算问题中，往往需要在不同的时间层采用不同的有限元空间。例如，火焰的传播以及油水前沿面问题等。又如抛物型方程的初始值，若光滑性较差，则在开始的一段时间内，由于真解的光滑性较差，应采用较低阶插值函数和较密的网格，经过一段时间，真解的光滑性变好，则可以用较高阶的插值函数和较粗的网格。因此，许多数学家和工程师都把目光放在采用动态有限元空间这一方法上，而且也提出了许多动态有限元方法。梁国平在[39]给出了一般抛物问题的变网格有限元方法，这种方法的主要思路是根据需要对不同的时间层采用不同的空间网格，把上一时间层的近似解L2投影到当前时间层然后作为初始值；而后又基于坐标变换的思想，提出了适用于任何空间维数的一般抛物方程以及任何网格的非柱形区域的变网格有限元离散格式[41]；杨道奇[61]对抛物问题提出了变网格混合元方法，随后又将该方法推广到多孔介质可混溶驱动问题[62]；袁益让教授[65]讨论了非线性对流扩散问题的变网格方法。
　　 本文围绕着对流扩散方程的特征线法而展开，主要分析了二阶特征线的变网格方法，二阶特征线法与Galerkin有限元法相结合处理不可压多孔介质混溶驱动问题，最后给出了守恒特征有限元法的一种最优估计。
　　 本文的组织结构如下：
　　 在第一章中，我们建立本文要讨论的数学模型，通过多孔介质混溶驱动问题的物理背景，根据质量守恒性，推导描述多孔介质中流体浓度的对流占优的对流扩散方程，及其与描述流体速度和压力关系的达西方程组成的耦合非线性偏微分方程。接着介绍了本文中会用到的sobolev空间及其范数，并给出了后面章节分析中会经常用到几个引理。
　　 在第二章中，我们把二阶特征线法与变网格法相结合给出了对流占优的对流扩散方程的数值形式，并做了相应的误差分析，证明近似算法在时间变量方向是二阶的，而当网格变动次数M满足一定的条件时。在空间变量方向上虽然不是最优的但依然有较好的收敛速度。当Mh有界时，L2模的收敛速度为hk阶的。
　　 在第三章中，我们进行了不可压多孔介质混溶驱动问题的数值分析，我们运用二阶特征有限元的方法处理浓度方程，而对压力方程采用标准Galerkin方法进行处理。我们给出了问题的假设以及二阶特征Galerkin方法的离散形式并给出了相应的L2模误差估计。证明了算法在时间变量方向是二阶的，在空间变量方向上虽不是最优的但也有较好的收敛速度。
　　 在第四章中，我们对芮洪兴及Tabata提出的新型守恒特征有限元方法，在一维均匀剖分的情况下，利用超收敛估计，给出了其最优估计并用数值算例进一步验证了结论的正确性。