由g-布朗运动驱动的随机系统稳定性研究

摘要

本文在Peng[57]的G-期望、G-布郎运动和G-随机微分方程理论的基础上，在经典的Lyapunov稳定性理论[44]，[45]，[61]和H∞控制理论[29]，[76]，[78]的启发下，主要讨论了由G-布朗运动驱动的随机系统的均方稳定性和H∞控制问题.具体内容包括:G-随机微分方程解对初值的导数及性质，G-随机微分方程均方稳定性的Lyapunov准则和应用，G-随机系统的稳定化最优控制和H∞控制等问题.详细内容如下: 第一章，主要回顾了G-期望理论框架和本文将用到的基本知识，并证明了如下形式的无穷时间区域G-随机微分方程和G-倒向随机微分方程解的存在性和唯一性.Xt=X0+ t∫0 b(s，Xs)ds+t∫0hij(s,Xs)d〈Bi,Bj〉s+t∫0σj(s,Xs)dBjs.Yt=E[ζ+∞∫tf(s,Ys)ds+∞∫thij(s,Ys)d〈Bi,Bj〉s|Ωt] 定理1.16设b，hij，σj满足Lipschitz条件(1.3.25)和(1.3.27)，则G-随机微分方程(1.3.24)在(M)PG,l（R+，Rn）中存在唯一解. 定理1.20设f，hij满足Lipschitz条件(1.3.25)及(1.3.27)，ζ∈L1G（Ω;R），则时域无穷的G-倒向随机微分方程(1.4.32)在(M)1G,l（R+;Rn）中存在唯一解. 第二章，主要讨论G-随机微分方程解对初值x的导数，在G-随机微分方程生成元算子的基础上，证明了函数u(t，x)=E|Xt，xs|2在粘性解意义下所满足的微分性质.具体内容有:
　　定理2.19设b，hij，σj关于t是连续的，V∈C1，2（R+×Rn;R）），V，(a)tV关于x的二阶导数有界且满足Lipschitz条件，则生成元算子L具有下列形式:LV(t,x)=(a)tV(t,x)+〈axV(t,x),b(t,x)〉+G(〈axV(t，x)，h(t，x)〉+〈a2xxVσ(t，x)，σ(t，x)〉).其中〈(a)xV(t，x)，h(t,x)〉+〈(a)2xxVσ（t,x），σ(t,x)〉是Sd（R）中的d×d对称矩阵，具体定义为〈axV(t，x),h(t,x)〉+〈(a)2xxV(t,x)σ(t,x)，σ(t,x)〉:=[〈(a)xV(t，x)，hij(t，x)+hji(t，x)〉+〈(a)2xxV(t，x)σi(t，x)，σj(t，x)〉]di,j=1. 并求出了G-随机微分方程解对初值的一、二阶均方导数. 定理2.24设G-随机微分方程(1.3.24)的系数b，hij，σj∈Cb1,2(R+×Rn;R)，相应的解{Xs,xt）t≥s∈(M)4G[0，T];Rn）则(1.3.24)的解Xs，xt关于x具有连续的二阶均方导数，并且一阶均方偏导数(a)xkXs,xt满足下列G-随机微分方程Zt=ek+t∫s(a)xb(u，Xs,xu)Zudu+t∫s(a)xhij(u，Xs,xu)Zud〈Bi，Bj〉u+t∫s(a)xσj（u，Xs,xu）ZudBju. 二阶G-偏导数(a)xkxlXs,xt满足如下方程(ζ)xt=t∫s[(a)xb(u，Xs,xu）(ζ)xu+（(a)xk（Xs，xu）T(×)In)(a)2xxb(a)xlXs,tu]du+t∫srijd〈Bi，Bj〉u+t∫sΞjdBju，其中，(a)2xxb，(a)2xxhij，(a)2xxσj表示向量值函数对x偏导数所对应的分块矩阵，如(a)2xxb=((a)xxbv(u，Xs，xu))nv=1∈Rn2×n，这里(a)xxbv是函数bv的Hermite阵.rij=(a)xhij(u，Xs,xu)(ζ)xu+（(ζ)xk（Xs，xu）T(×)In)(a)2xxhij(a)xlXs,xu,Ξj=(a)xσj(u，Xs,xu)(ζ)xu+((a)xk(Xs，xu)T(×)In)(a)2xxσj(a)xlXs,xu. 命题2.28设G-随机微分方程满足引理2.25的条件，则u(s，x)=E|Xs,xt|2是方程(a)tu(t，x)+〈(a)xu(t，x)，b(t，x)〉+G〈((a)xu(t，x)，h(t，x)〉+((a)xxuσ(t，x)，σ(t，x)〉) =0.的粘性解. 第三章，主要讨论了G-随机微分方程均方稳定的Lyapunov判断准则及其在含不确定系数的随机系统稳定性判断中的应用.具体内容有: 定理3.6如果存在V∈C1，2（R+×Rn;R），满足如下两条件:(i)对任意(t，x)∈R+×Rn有LV(t，x)≤0，(ii)存在常数c1，c2＞0，使得c1|x|2≤V(t，x)≤c2|x|2.则G-随机微分方程(3.2.1)是均方稳定的. 定理3.7如果存在非负函数V∈C1，2（R+×Rn;R）满足下面两个条件:(i)存在常数λ＞0，使得LV(t，x)≤一λV(t，x)，(ii)存在常数c1，c2＞0使得，对任意(t，x)∈R+×Rn，c1|x|2≤V(t，x)≤c2|x|2，则G-随机微分方程(3.2.1)是均方指数渐近稳定的. 对如下形式的线性随机微分方程，其稳定性有相应的代数判据.Xt=X0+ t∫0BXsds+t∫0HijXsd〈Bi,Bj〉s+t∫0 CjXsdBjs.其中B，Hij，Cj∈Rn×n，而Lyapunov函数V(x)具有形式V(x)=xTpx，P∈Sn+（R）.记分块矩阵H，C如下H=（Hij）di,j=1∈Rnd×nd，C=(Cj)dj=1∈Rn×nd.
　　命题3.13设P∈Sn+（R），满足下列一对线性矩阵不等式(P(×)Id)H+HT(P(×) Id)+CTPC≤αInd，PB+BTp+P ≤-G(αId)In,其中α取-1或1，则P满足(3.3.16).从而线性G-随机微分方程(3.3.15)是均方指数渐近稳定的. 并在一定的条件下讨论了G-随机微分方程Lyapunov准则的必要性. 定理3.16设G-随机微分方程(3.3.15)的系数b,hij，σj满足引理3.14的条件，如果G-随机微分方程(3.3.15)是均方指数渐近稳定的，则存在V∈C1,2(R+×Rn;R)满足不等式(3.3.2)和(3.3.5). 在G-随机微分方程Lyapunov判断准则的基础上，我们还讨论了其如下含不确定参数的随机系统的稳定性Xt=X0+t∫0[b(s，Xs)+λijhij(s，Xs)]ds+t∫0σj(s，Xs)dBjs，首先，构造G函数，令G:Sd（R）→R按如下定义G(A)=1/2sup(∧)∈∑tr(A(∧)），则存在着G-期望及G-正态随机变量ηd=N(0，∑)，使得G（A)=1/2E〈Aη，η〉，相应的次线性期望空间为（Ω，(H)，E）. 定理3.21设b，hij，σj满足引理3.14的条件，则不确定随机系统(3.4.3)一致均方指数渐近稳定的充分必要条件是G-随机微分方程(3.4.6)是均方指数渐近稳定的. 第四章，讨论了以H∞范数作为主要指标的G-随机系统鲁棒性问题，具体包括G-随机微分方程的稳定化和基于状态反馈的H∞控制设计.具体内容有: 对如下含外界干扰的G-随机系统｛Xt=x0+t∫0b(s，Xs，vs)ds+t∫0hij(s，Xs，vs)d〈Bi，Bj〉s+t∫0σj(s，Xs，vs)dBjs，zt=m(t，Xt，vt)其中v∈(M)2G（R+;Rnv）为外界干扰项，z∈Rnz为观测项，定义算子(L):(M)2G（R+;Rnv）→M2G（R+;Rnz）如下:(L)v=z(·，0，v).算子的范数(L)为如下的H∞范数||L||=sup0≠v∈M2G(R+;Rnv)||z||M2G（R+;Rnz)/||v||(M)2G（R+;Rnz). 定理4.4如果存在γ＞0，V∈C1,2（R+×Rn;R），使得，对任意(t，x，v)∈R+×Rn×Rnv，有H0V(t,x):=LvV(t,x)+mT(t,x,v)m(t,x,v)-γ2|v|2≤0及(3.3.2)，则(4.2.1)在R+上是外部稳定的.
　　对如下形式的含外界干扰的G-随机系统Xt=x0+t∫0[b(s，Xs)+(b)(s,Xs)vs]ds+t∫0[hij(s，Xs)+(h)ij(s，Xs)vs]d〈Bi，Bj〉s+t∫0[σj（s，Xs）+σj(s，Xs)vs]dBjs，zt=m(t，Xt)+(m)（t，Xt）v还有如下结论: 定理4.5设G-随机系统(4.2.11)的系数b，hij，σj满足引理3.14的条件，则下列三个条件是等价的: (i)系统(4.4.1)是内部稳定的; (ii)存在V∈C1，2（R+×Rn;R），(∧)，c1，c2 ＞0，使得L0V(t，x)≤-λV(t，x)，c1|x|2≤V(t,x)≤c2|x|2, (iii)存在M＞0，使E|x(t，x0，0)|2≤M|x0|2.且存在二阶导数(a)2xxV有界的V满足(4.2.12)和(4.2.13). 定理4.6如果存在V∈C1，2（R+×Rn;R）及γ＞0，使得，对任意(t，x)∈R+×Rn，有｛H1V(t,x):=L0V(t,x)+mT(t, x)m(t,x)+1/4sup(∧):=(λij)∈∑ BT(t,x,(∧))A-1(t,x,(∧),γ)B(t,x,(∧))≤0,A(t，x，(∧)，γ）:=γ2Inv-(m)T(t，x)(m)(t，x)-1/2d∑i,j=1λij(σ)Tj(t，x）(a)2xxV(t，x)(σ)i(t，x）＞0，(∨)A∈∑其中B(t，x，(∧)):=d∑i,j=1λij[(h)Tij(t，x)(a)xV(t，x)+(σ)Tj(t，x)(a)(xx)2V(t，x)σi(t，x)]+(b)T(t，x)(a)xV(t，x)+2(m)T(t，x)m(t，x).及(3.3.2)，则系统(4.2.11)在R+上是外部稳定的且||(L)||≤γ. 对如下的由G-随机微分方程来描述的控制系统，考虑其稳定化最优控制.Xt=x0+t∫0 b(s,Xs，u)ds+t∫0 hij(s，Xs，u)d〈Bi,Bj〉s+t∫0σj(s，Xs，u)dBjs.有下列结论. 定理4.14设V∈C1，2（R+×Rn;R）及u0(t，x)∈(u)满足下列条件c1|x|2≤V(t,x)≤c2|x|2,Lu0V(t,x)+K（t，x,u0(t，x))≤0,-Lu[-V]（t,x）+K(t，x，u)≥0，K(t,x，u)≥c1|x|2.则，在控制u=u0(t，x)下，系统(4.3.1)是均方指数渐近稳定的且u0(t，x)为满足最优问题(4.3.2)的最优化稳定控制，同时还有Js,x0(u0)=V(s，x0). 我们还讨论了如下形式G-随机系统的状态反馈H∞控制设计问题｛Xt=x0+t∫0b（s，Xs）+(b)(s，Xs)u+(b)（s，Xs）vs]ds+t∫0[hij（s，Xs）+(h)ij(s，Xs)u+(h)ij(s，Xs)vs]d〈Bi，Bj〉s+t∫0[σj(s，Xs)+(σ)j(s，Xs)vs]dBjs，Zt=m(t，Xt)+(D)u. 定理4.18设γ＞0，如果存在V∈C1，2（R+×Rn;R），满足H2V(t,x):=L0,0+1/4sup(∧)∈∑ BT(t,x,(∧))(A)-1(t,x,(∧),γ)(B)(t,x,(∧))-1/4(B)T(t，x)((D)T(D))-1(B)(t，x)≤0，A(t,x，(∧)，γ):=γ2I-1/2d∑i,j=1λij(σ)Ti(t，x)(a)2xxV(t，x)(σ)j(t，x)＞0，(∨)(∧)∈∑.其中B(t，x，(∧))=(b)T(t，x)(a)xV(t，x)+d∑ij=1λij((h)Tij(a)xV(t，x)+(σ)Tj(a)2xxV(t，x)σi），(B)(t，x)=(b)T(t，x)(a)xV(t，x)+2(D)Tm(t，x)+d∑i,j=1λij(t，x)(h)Tij(a)xV(t，x)，则u*(t，x)=-1/2((D)T(D))-1[(b)T(a)xV(t,x)+2(D)Tm(t,x)+d∑i,j=1λij（t，x）(h)Tij(a)V(t，x)]为系统(4.4.5)在R+上的状态反馈H∞控制，这里函数λij(t，x)定义为，对任意固定(t，x)∈R+×Rn，使得下式成立的λij为其值:sup(λij)∈d∑i,j=1λij〈(a)xV(t，x)，(h)iju*(t，x)〉=d∑i,j=1λij（t，x）〈(a)xV(t，x)，(h)iju*(t，x)〉.

目录

声明

数学符号

摘要

第一章 G-期望与时域无穷G-随机微分方程

§1．1 引言

§1．2 预备知识

§1．3 由G-布朗运动驱动的时域无穷随机微分方程

§1．4 基于G-期望的时域无穷倒向随机微分方程

第二章 G-随机微分方程解对初值的导数

§2．1 引言

§2．2 均方连续与均方可微

§2．3 G-随机微分方程的生成元

§2．4 G-随机微分方程对初值的连续性与可微性

第三章 G-随机微分方程稳定性的Lyapunov准则

§3．1 引言

§3．2 基本概念

§3．3 均方稳定的Lyapunov准则

§3．4 含不确定系数的随机系统稳定性

第四章 G-随机系统的状态反馈H∞控制

§4．1 引言

§4．2 内部稳定与外部稳定

§4．3 G-随机微分方程的稳定化

§4．4 G-随机系统的状态反馈H∞控制

参考文献

攻读博士期间发表及完成的学术论文

致谢