噪声摄动以及正倒向随机微分方程最优控制问题

摘要

本文涉及两个主题:第一部分考虑高维常微分方程小噪声扰动问题以及一类耦合正倒向随机微分方程大偏差问题。第二部分研究正倒向随机微分方程随机控制相关问题。
　　在第一章，我们考虑如下常微分方程:
　　{ξ'(t)=b(ξ(t))， t≥0，
　　ξ(0)=x∈Rd，
　　其中b:Rd→Rd。我们有一般的局部存在性理论如果b仅仅满足连续性条件（皮亚诺定理）。这种情形下唯一性可能丢失。然而，摄动随机微分方程，
　　{dXx,ε（t)=b（Xx,ε（t)）dt+εdW(t)， t≥0，
　　Xx,ε(0)=x∈Rd，
　　其中W是一个d-维标准布朗运动，存在唯一的强解，如果我们假设b满足连续有界。此外，当ε→0+，摄动随机微分方程的解，在某种意义下，收敛到常微分方程的解。对于一维情形，已有大量文献对这一现象进行了深入的研究。本章的目的在于分析一些高维情形（其技术稍微区别一维情形）。当b含有一个孤立点及在零点处不满足李普希兹条件时，常微分方程可能有无穷多解。我们的主要结果将表明常微分方程的哪些解可以是随机微分方程的极限解（当ε→0+）。对于一维情形，类似问题已被大量探讨，然而其技术不能推广到高维。本章主要的技术创新在于考虑高维情形。
　　第二章中，我们考虑一类如下带参数ε＞0，耦合的正倒向随机微分方程，
　　{Xε,t,x(s)=x+∫stf(Xε，t,x(r)，Yε，t,x(r))dr+√ε∫stσ(Xε，t,x(r)，Yε,t,x(r））dW(r），Yε,t,x(s)=h（Xε，t,x（T））+∫Tsg（r，Xε，t,x(r），Yε，t,x(r)，Zε,t,x(r))dr-∫TsZε，t,x(r)dW(r),0≤t≤s≤T.我们研究，当ε→0+，时，（Xε，t,x，Yε，t，x）的分布收敛，同时建立Freidlin-Wentzell大偏差原理。
　　需要指出的是，本章结果将推广前人的工作，也就是，b和σ能依赖于变量Y。
　　第三章中，我们研究一类线性正倒向随机控制系统次优控制问题，其中漂移项和扩散项可以要求依赖控制变量以及控制域非凸。我们建立对于次优控制新的庞特里亚金随机最大值原理的必要及充分条件。本章主要贡献基于我们能考虑控制域非凸以及扩散项含控制。
　　第四章，我们研究以下拟线性随机偏微分方程:{-du(t,x)=infv∈U{(b(t,x,v),Du(t,x))+f(t,x,u(t，x),γ1(t，x),γ2(t,x),v)}+tr[1/2[σσ*(t，x)+ππ*(t，x)]D2u(t，x)]+(π(t，x)，DΨ2(t，x))+(σ(t，x),DΨ1(t，x))dt-Ψ1(t,x)dWt-Ψ2(t,x)dWt,u(T,x）=Φ(x),(t,x)∈[0,T]×Rn,其中γ1(t，x)(△)Ψ1(t，x)+Du(t，x)σ(t，x)，γ2(t，x)(△)Ψ2(t，x)+ Du(t，x)π(t，x).我们得到以上随机H-J-B方程解的存在及唯一性，同时给出最优控制验证表示。
　　第五章中，我们研究漂移项，扩散项以及倒向随机微分方程生成元含控制的正倒向随机微分方程。在不考虑值函数导数，粘性解的框架下，我们得到一个新的验证定理。必须指出这一定理比经典验证定理有更广泛的应用。此外，运用该定理我们可以找到正倒向随机系统最优反馈控制。

目录

声明

绪论

§0．1 摘要

§0．2 前沿

§0．2．1 常微分方程噪声摄动问题

§0．2．2 正倒向随机微分方程及其相关问题

§0．3 本文中的主要结果

Introduction

§0．4 Abstract

§0．5 Introduction

§0．5．1 Random Perturbation of Ordinary Differential Equation

§0．5．2 Forward-Backward Stochastic Differential Equations and Related Problems

§0．6 Main Results in this Thesis

第一章 高维非李普希兹常微分方程噪声摄动

摘要

§1．1 引言

§1．2 预备结果

§1．3 常微分方程

§1．4 新随机微分方程从κ出去时间函数收敛

§1．4．1 二阶H-J-B方程

§1．5 主要结果

§1．6 例子

第二章 耦合正倒向随机微分方程渐进性质

摘要

§2．1 引言

§2．2 预备知识

§2．3 正倒向随机微分方程解的正则性

§2．4 主要结果

§2．4．1 分布收敛

§2．4．2 大偏差原理

第三章 正倒向随机微分方程次优控制最大值原理

摘要

§3．1 前言

§3．2 记号以及预备知识

§3．2．1 最优控制问题及基本假设

§3．3 主要结果

§3．3．1 次优必要条件

§3．3．2 次优充分条件

§3．4 例子

§3．5 结论说明

§3．6 定理3．1的证明

第四章 由正倒向受控系统引出的随机H-J-B方程

摘要

§4．1 引言

§4．2 预备知识

§4．2．1 有限维情形

§4．2．2 无穷维情形

§4．3 最优控制构造和随机H-J-B方程

§4．3．1 最优控制系统

§4．3．2 验证定理方法

§4．4 主要结果

§4．5 结论说明

第五章 正倒向受控系统随机验证定理

§5．1 引言

§5．2 上微分，下微分，粘性解

§5．3 正倒向受控系统下的随机验证定理

§5．4 最优反馈控制

参考文献

致谢

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