分数阶微积分在反常输运过程中的应用研究

摘要

近几十年来，分数阶微积分理论成功应用于工程科学的各个领域，比如电磁学、流体力学、粘弹性、反常扩散和信号处理，呈现出欣欣向荣之势。这表明分数阶微积分理论具有独特的优势，体现了其不可替代性，关于这方面的理论和应用研究已成为一个国际热点问题。相比较经典的整数阶微分算子，由于分数阶微分算子具有全局相关性或非局部的特性，故更适合于描述具有记忆性和遗传特性材料的复杂力学行为。
　　本文主要介绍分数阶微积分理论在粘弹性材料、流体力学、生物组织传热和激光加热中的应用。为了更好的分析这些反常现象，通过合适的参数估计方法获得了模型中未知参数的最优估计结果。首先，利用由分数元组成的分数阶本构关系模型:分数元模型，分数阶Maxwell模型，分数阶Kelvin-Voigt模型和分数阶Poynting-Thomson模型，描述粘弹性材料的时间依赖蠕变行为。借助于聚合物和岩石的三组蠕变实验数据对比这些分数阶本构关系模型的有效性，并通过内点算法求得这些模型参数的最优估计结果，借助图形将三组材料的蠕变数据与计算所得结果进行对比，分析表明分数阶Poynting-Thomson模型在描述材料的蠕变行为时是最优的。其次，考虑到空间分数阶微分算子可以准确的描述反常力学行为的路径依赖、长程相关等特性，故将流体力学中的经典Navier-Stokes方程中拉普拉斯算子替换为Riesz分数阶微分算子，得到空间分数阶Navier-Stokes方程。借助分数阶微分方程的有限差分算法研究两平行平板之问的压力驱动流动，分析模型参数对流体流动的影响;并运用Levenberg-Marquardt算法获得模型中未知参数的最优估计值。结果显示，两个模型参数对速度场均有较强的影响，且Levenberg-Marquardt方法在空间分数阶微分方程反问题的研究中是有效的。再次，基于生物组织建立分数阶双相延迟模型和相应的生物传热方程，以此解释预处理肉中的传热现象。借助于傅里叶变换和拉普拉斯变换获得由H函数表示的解析解。模型中的两个松弛时间和分数阶导数的阶数均由非线性最小二乘法获得最优估计值。通过图形对比测量温度和计算所得温度，得到较好的拟合效果，并详细分析了模型参数的影响。最后，基于分数阶Taylor级数和Tzou提出的双相延迟模型，建立分数阶双相延迟热传导模型;针对短脉冲激光加热半无穷介质问题建立分数阶双相延迟热传导方程，利用拉普拉斯变换给出问题的半解析解，并利用数值求逆拉普拉斯变换的方法深入剖析了短脉冲激光加热的热传输过程。具体来讲:
　　第一章，主要介绍分数阶微积分的发展历史，本文要研究的主要问题以及可能用到的一些预备知识。
　　第二章，基于分数阶本构关系模型研究粘弹性材料的时间依赖蠕变行为。基于分数阶微积分的粘弹性材料本构关系模型不仅具有拟合实验数据好、使用参数少的优点，而且可以合理地描述具有记忆和时间依赖的物理现象，故研究人员在粘弹性材料本构模型的研究中开始采用分数阶微积分理论。本章借助于分数阶本构关系模型:分数元模型，分数阶Maxwell模型，分数阶Kelvin-Voigt模型和分数阶Poynting-Thomson模型研究粘弹性材料（聚合物和岩石）的蠕变行为，这些模型的蠕变函数分别为J(t)=tα/ηΓ(1+α)，(1)J（t)=tα/η1Γ(1+α)+tβ/η2Γ(1+β)，(2)J(t)=tα/η1Eα-β,1+α（-tα-β/η1/η2），(3)J(t)=tλ/η3Γ（1+λ)+tα/η1-Eα-β，1+α（-tα-β/η1/η2），(4)这里Ep，q(z)是Mittag-Leffler函数。通过包括HDPE，PEEK和岩石在内的三组蠕变实验数据说明分数阶粘弹性模型的有效性，并分析了所得拟合结果。结果显示，分数阶Poynting-Thomsom模型的拟合效果是本章涉及的分数阶微分模型中最好的，其可以很好的抓住粘弹性固体短时和长时的蠕变行为。模型参数的识别是分数阶微分模型研究中的一个重要问题，本章将采用内点算法估计了未知的模型参数，得到未知参数的最优估计值。内点算法对于解决分数阶微分模型参数估计的反问题是可行的。
　　第三章，主要研究空间分数阶Navier-Stokes方程，并用分数阶微分方程有限差分的方法获得两平行平板之间压力驱动流动的速度分布。将Navier-Stokes方程中的拉普拉斯算子替换为Riesz分数阶微分算子，可得以下形式的空间分数阶Navier-Stokes方程(6)/(6)tu（y，t）=-1/ρ(6)p/(6)x+v(6)α/(6)|y|αu（y，t）.(5)以上述方程为运动方程，考虑垂直距离是L的两平行平板之间流体的不定常压力驱动流动，其初边值条件分别为u（y，0）=0，0＜y＜L，(6)u(0，t)=u(L,t)=0,t≥0.(7)借助于有限差分的方法获得此问题在常压力梯度驱动下的速度分布，探讨分数阶导数和广义雷诺数对不定常粘性流动的影响，结果显示两个模型参数对两平行平板之间的流动均有较大影响。为了更好的分析两平行平板之间的压力驱动流动的特性，探讨两个模型参数的估计问题，并利用Levenberg-Marquardt(L-M)方法估计了分数阶导数和广义雷诺数，结果表明用Levenberg-Marquardt方法解决空间分数阶微分方程中的反问题是有效的。
　　第四章，主要研究时间分数阶双相延迟模型及其在生物组织传热中的应用。首先基于经典傅里叶定律提出以下生物组织传热中的时间分数阶双相延迟模型q(r，t)+ταq(6)αq/(6)tα(r,t)=-k{▽T(r，t)+τ(6)β/(6)tβ▽T(r，t)}，(8)其中0＜α，β＜1，分数阶微分为Caputo型分数阶微分。生物组织热传导通常采用以下Pennes'方程ρc(6)/(6)tT(r，t)=-▽·q(r，t)+Q(r，t)，(9)其中Q(r，t)=wbcb(Tα-T(r，t))+qm+qr，ρ，c和T分别是生物组织的密度，比热和温度;cb是血液的比热，wb是血液灌注率;Tα是动脉血的温度;qm是生物组织的新陈代谢产生的热量，qr是空间热源项。方程(8)和(9)联立可得带有两个分数阶参数α和β的生物传热方程，其中包括体现生物组织内在热性能的松弛时间τq和延迟时间τT。基于Mitra等的实验，提出以下初边值条件:T(x,0)=T0f(x),q(x,0)=0,(10)lim x→±∞q(x，t)=0，lim x→±∞ T(x，t)=0， t＞0，(11)并借助于积分变换和H函数，得到了以上初边值条件下分数阶双相延迟热传导方程的精确解。进一步用非线性最小二乘的方法预测了Mitra等给出的实验Ⅰ和Ⅲ的温度，结果显示分数阶双相延迟模型能较好地吻合测量数据且能很好的抓住温度快速上升的趋势。对比热波模型和双相延迟模型，分数阶双相延迟模型的L2误差最小。这说明分数阶双相延迟模型有助于提升对生物组织中热传导现象的认识。
　　第五章，主要研究短脉冲激光加热一个半无穷介质。以时间分数阶双相延迟模型q（r，t)+τβq(6)β/(6)tβq(r,t)=-k(1+τβT(6)β/(6)tβ)▽T(r，t)，(12)为热传导模型，建立相应的包含体积热源项的分数阶热传导方程τβq/α(6)β+1T/(6)tβ+1+1/α(6)T/(6)t=（1+τβT(6)β/(6)tβ）△T+1/k(1+τβq(6)β/(6)tβ）g，(13)这里g(x，t)=(1-rf)I0δf(t)e-δx.考虑初边值条件T(x，t)=T0,(6)/(6)tT(x，t)=0,x＞0,t=0,(14)(6)/(6)xT(x，t)=0，x=0，t＞0，(15)T(x,t)=T0,x→∞，t＞0,(16)下定解问题的解，通过拉普拉斯变换的方法得到了温度分布的半解析解。最后，利用数值逆拉普拉斯变换的方法数值剖析了分数阶阶数和延迟时间对温度分布产生的影响。
　　第六章，给出本文的总结和未来可能的研究方向。

目录

声明

摘要

符号说明

插图索引

表格索引

第一章 绪论

§1．1 分数阶微积分简介

§1．2 本文的主要研究工作

§1．3 预备知识

§1．3．1 分数阶微积分的定义

§1．3．2 特殊函数

§1．3．3 积分变换

第二章 具有分数阶本构关系粘弹性材料蠕变机理研究

§2．1 引言

§2．2 分数阶粘弹性模型

§2．3 参数估计

§2．4 结果与讨论

§2．4．1 实例1

§2．4．2 实例2

§2．4．3 实例3

§2．5 本章小节

第三章 空间分数阶Navier-Stokes方程的数值分析

§3．1 引言

§3．2 数学模型及数值解

§3．2．1 模型的建立

§3．2．2 模型的数值解

§3．3 参数估计

§3．4 结果与讨论

§3．4．2 流体流动分析

§3．4．3 模型参数的最优估计

§3．5 本章小结

第四章 时间分数阶双相延迟热传导模型

§4．1 引言

§4．2 时间分数阶双相延迟模型

§4．3 分数阶双相延迟热传导方程的解析解

§4．4 结果与讨论

§4．4．1 实验数据拟合

§4．4．2 数值分析

§4．5 本章小结

第五章 基于分数阶双相延迟热传导方程激光加热瞬态温度场研究

§5．1 引言

§5．2 时间分数阶双相延迟模型

§5．3 时间分数阶双相延迟模型的解

§5．4 结果与讨论

§5．5 本章小节

第六章 总结与展望

参考文献

致谢

攻读博士学位期间完成的工作