微分算子不定谱问题在不同条件下非实特征值的估计

摘要

众所周知，正则不定的Sturm-Liouville问题可能具有非实的特征值，通常情况下，确定微分表达式中非实特征值的确切数目仍然是一个比较困难且开放性的问题(参阅文献[12,13]).随着常微分算子谱理论的广泛研究，算子谱的内容得到极大丰富，特别是关于谱的特征值研究更是取得了重大突破.越来越多的研究者对Sturm-Liouville问题在左定情形、不定情形和特征值的估计等方面给予了研究，类似问题可参阅文献[4,5],[7-12]和[3,14,15,25,27,28].特别地，大多数研究者仅就二阶的Sturm-Liouville问题进行了估计，大大限制了其研究价值和实用性，并且文章大都是在经典的边界条件(如 Dirichlet边界条件、分离边界条件等)下得到的估计，并未对耦合的边界条件进行估计.本文受文献[14，15，26，27，28]的启发，通过赋予权函数不同限制条件，将二阶 Sturm-Liouville问题非实特征值的估计问题推广到四阶谱问题，并在耦合边界条件下对正则不定Sturm-Liouville问题的非实特征值的实部和虚部进行估计研究.
　　本文采用的方法是运用经典分析技巧和算子理论知识，通过对Sturm-Liouville微分方程中权函数拐点、对称性和绝对连续函数限制下的不同情况，得到四阶谱问题的非实特征值实部和虚部的估计，并且利用耦合边界条件估计正则不定Sturm-Liouville问题的非实特征值.
　　本文共分为四章：
　　第一章绪论简要的介绍了问题的研究背景和本文的主要工作.
　　第二章四阶微分算子不定谱问题.
　　第三章四阶微分算子不定谱问题非实特征值的估计.
　　第四章正则不定谱问题在耦合边界条件下非实特征值的估对于正则不定Sturm-Liouville问题.
　　.

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第一章绪论

第二章四阶微分算子不定谱问题

第三章四阶微分算子不定谱问题非实特征值的估计

3 .1 引言

3 .2 符号与定义

3 .3 权函数拐点唯一时非实特征值的估计

3 .4 权函数具有多个拐点时非实特征值的估计

3 .5 满足对称条件下非实特征值虚部的估计

3 .6 绝对连续函数限制下非实特征值的估计

第四章正则不定谱问题在耦合边界条件下非实特征值的估计

4 .1 引言

4 .2 预备知识

4 .3 主要结论

参考文献

致谢