分数阶积分微分方程的B样条小波解法

摘要

分数阶微积分被称为现实世界和数学理论完美结合的一种崭新的数学工具，被广泛应用到粘弹性力学、统计与随机过程、信号分析处理等各个不同的领域.分数阶微积分方程比整数阶微积分方程更能真实客观地刻画许多复杂的物理过程，成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一.因此，有关分数阶微积分方程的理论与计算方法的研究就显得尤为迫切，在应用领域起着至关重要的作用.遗憾的是，大部分分数阶积分微分方程的解析解很复杂，计算困难，消耗大量时间;况且并非所有的分数阶微积分方程都能得到其解析解.因此，发展新数值算法，建立分数阶微积分方程的数值方法是非常必要的，有着重要的理论意义和实际应用价值.
　　本文主要求解了几类Riemann-Liouville分数阶微积分方程.第一章简要介绍了研究背景、研究意义及国内外研究现状.第二章推导了半正交B样条小波的分数阶积分算子矩阵.第三章证明了第二类分数阶Fredholm积分方程解的存在唯一性，利用半正交B样条小波求解了第二类分数阶Fredholm积分方程的数值解.算例针对精确解未知的方程给出其数值解.第四章证明了第二类分数阶Fredholm积分方程组解的存在唯一性，利用半正交B样条小波求解第二类分数阶Fredholm积分方程组的数值解.并针对精确解未知的情况给出误差分析.第五章研究了分数阶非线性Fredholm积分微分方程，B样条小波分数阶积分算子矩阵将积分微分方程离散为代数方程组，数值算例验证了此方法的可行性和有效性.第六章总结归纳了本文所做的工作并对将来的工作加以展望.

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 课题研究背景和意义

1．2 国内外研究现状

1．3 本文研究的主要内容及章节安排

第二章 基本知识

2．1 分数阶微积分基本理论

2．2 紧支集B样条函数

2．3 半正交B样条小波多分辨分析

2．4 在区间[0，1]上的线性B样条尺度函数和小波函数

2．5 函数逼近

2．6 B样条小波矩阵及其积分算子矩阵

第三章 分数阶Fredholm积分方程的B样条小波配置法

3．1 半正交B样条小波求解线性分数阶Fredholm积分方程

3．1．1 解的存在唯一性

3．1．2 线性分数阶Fredholm积分方程的半正交B样条小波配置解法

3．1．3 误差分析

3．1．4 数值算例

3．2 半正交B样条小波求解非线性分数阶Fredholm积分方程

3．2．1 非线性分数阶Fredholm积分方程的半正交B样条小波配置解法

3．2．2 误差分析

3．2．3 数值算例

3．3 本章小结

第四章 分数阶Fredholm积分方程组的B样条小波配置法

4．1 半正交B样条小波求解线性分数阶Fredholm积分方程组

4．1．1 解的存在唯一性

4．1．2 线性分数阶Fredholm积分方程的半正交B样条小波配置解法

4．1．3 误差分析

4．1．4 数值算例

4．2 半正交B样条小波求解非线性分数阶Fredholm积分方程组

4．2．1 解的存在唯一性

4．2．2 非线性分数阶Fredholm积分方程的半正交B样条小波配置解法

4．3 本章小结

第五章 分数阶Fredholm积分微分方程的B样条小波配置法

5．1 非线性分数阶Fredholm积分微分方程的半正交B样条小波配置解法

5．2 误差分析

5．3 数值算例

5．4 本章小结

第六章 结论与展望

6．2 展望

参考文献

致谢

个人简介、在硕士期间发表的论文