同伦摄动法在非线性方程求解中的应用

摘要

非线性现象出现在现代科学技术的各领域，其数学模型通常由非线性方程(组)所描述，因而非线性方程(组)的求解具有重要的理论和实践意义。
　　 孤立子理论作为研究非线性科学的专门学科之一，在三十多年的发展进程中建立了许多求解非线性方程(组)的系统而有效的数值方法。如：同伦摄动法[1]、Adomian分解法[2]等。然而，发展求解非线性方程(组)的新方法或改进原有方法是孤立子理论研究的一个重要课题.本文应用同伦摄动法研究了两个问题：给出sine-Gordon方程一类初值问题和一类混合问题的近似解析解，并分别给出所得的近似解析解与精确解的绝对误差；借用同伦摄动法给出完全非线性近似sine-Gordon方程的初值问题的近似解析解，并应用改进的Adomian分解法给出完全非线性近似sine-Gordon方程的初值问题的近似解析解，分别给出两种方法所得的近似解析解与精确解的绝对误差，比较发现同伦摄动法比改进的Adomian分解法精度高的优点。

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第一章绪论

§1.1. 问题的提出与背景

§1.2. sine-Gordon方程的研究现状与内容

§1.3. 研究意义与内容

第二章高阶非线性方程的同伦摄动解法

§2.1. 同伦摄动法简介

§2.2. sine-Gordon方程初值问题与混合问题的近似解析解

2.2.1. sine-Gordon方程初值问题的近似解析解

2.2.2. sine-Gordon方程混合问题的近似解析解

§2.3. 完全非线性近似sine-Gordon方程的初值问题

2.3.1.完全非线性近似sine-Gordon方程初值问题的近似解析解

2.3.2.同伦摄动法与改进的Adomian分解法所得近似解析解的比较

第三章结论与展望

参考文献

致谢