非线性波方程的达布变换与怪波解

摘要

本文的研究思路是首先构造一些非线性波方程的初等达布变换,其次将初等达布变换改进为广义达布变换.再利用广义达布变换构造线性波方程的怪波解,通过图形考察参数和系数对怪波的影响情况,并分析和掌握怪波的特性.全文主要工作如下:
　　(1)通过海森堡铁磁链方程的Lax对,得到了海森堡铁磁链方程的达布变换,将达布变换改进为广义达布变换,进而得到了海森堡铁磁链方程的怪波解,并通过参数取值的不同得到不同性质的怪波解.海森堡铁磁链方程含三个位势,其中的两个位势的怪波是在周期波的背景下出现的,而第三个位势没有周期波背景,但通过取不同的参数值,相应地出现了单峰和双峰形状的怪波.
　　(2)基于3×3矩阵型Lax对,研究了非线性光学中的广义耦合的非线性薛定谔方程.应用广义达布变换构造出该广义耦合的非线性薛定谔方程的高阶怪波解,并通过图形展示了一阶和二阶怪波解的性质.
　　(3)基于2×2矩阵型Lax对,考虑了变系数复的修正KdV方程.详细介绍了变系数复的修正KdV方程的达布阵的推导过程.在此基础上,给出变系数复的修正KdV方程的广义达布变换的（N1）次迭代后的结果,并获得了该方程的高阶怪波解.通过不同的系数和参数的选取,研究了一阶、二阶和三阶怪波解的演化情况.

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第一章 引言

第二章 常系数非线性波方程的达布变换与怪波解

2.1 海森堡铁磁链方程的达布变换与怪波解

2.1.1 海森堡铁磁链方程的物理背景与简介

2.1.2 海森堡铁磁链方程的达布变换

2.1.3 海森堡铁磁链方程的怪波解

2.2广义耦合的非线性薛定谔方程的达布变换与怪波解

2.2.1广义耦合的非线性薛定谔方程简介

2.2.2广义耦合的非线性薛定鄂方程的达布变换

2.2.3广义耦合的非线性薛定鄂方程的怪波解

第三章 变系数非线性波方程的达布变换与怪波解

3.1变系数复的修正KdV方程简介

3.2 变系数复的修正KdV方程的达布变换

3.3 变系数复的修正KdV方程的怪波解

参考文献

附录

攻读硕士学位期间的研究成果

致谢