微分算子的辛结构与一类微分算子的谱分析

摘要

该文围绕微分算子的辛结构这一主线展开,首先引入了J-辛空间的概念,讨论了有限维J-辛空间与安全J-Lagrangian子流形的基本性质.在此基础上,利用J-辛几何刻划了J-对称微分算子的J-对称扩张与J-自伴扩张.首先讨论了一般Hilbert空间内的J-对称微分算子的辛结构,然后讨论了区间上J-对称微分算子的辛结构.同时,利用辛几何刻划了对称微分算子的对称扩张,给出了二阶常型、二阶奇型与高阶常型、高阶奇型、具有中间亏指数的微分算子自伴域的辛结构,首次对自伴域进行了分类研究,从分类的角度易知,Everitt域的不安全性和Cao域、Sun域的完全性.最后,利用加权空间的嵌入定理讨论了一类微分算子的谱,给出了这类微分算子的谱是离散的充分必要条件.

目录

第一章引言

第二章预备知识

2.1对称，J-对称微分算子

2.2辛空间

第三章J-对称微分算子的辛几何刻划

3.1 J-辛空间

3.2有限维J-辛空间与J-Lagrangian子流形

3.3 Hilbert空间中J-对称算子的辛几何刻划

3.4区间I上J-对称微分算子的辛几何刻划

第四章对称微分算子的辛几何刻划

4.1对称扩张的辛几何刻划

4.2二阶常型微分算子自伴域的辛几何刻划

4.3二阶奇型微分算子自伴域的辛几何刻划

4.4高阶常型微分算子自伴域的辛几何刻划

4.5高阶奇型微分算子自伴域的辛几何刻划

4.6具有中间亏指数的微分算子自伴域的辛几何刻划

第五章嵌入定理与一类微分算子的谱

5.1加权Sobolev空间中的Poincare不等式

5.2加权的Friedrichs不等式

5.3一维无界域上的Poincare不等式

5.4嵌入定理与一类微分算子的谱

参考文献

结束语

致谢

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