微分算子乘积的自伴边值问题与一类微分算子的谱特征

摘要

微分算子自伴边值问题及谱理论是算子理论的重要而基本问题，它是同微分方程、数学物理和量子力学的某些重要问题相联系而发展起来的。本论文研究了微分算子乘积的自伴边值问题及一类微分算子的谱特征。 第一章简要概述了微分算子研究的背景、进展与本文所研究的问题、使用的方法和获得的若干结果。 第二章引入本文所需要的基本知识、符号和相关的引理。 第三章讨论了m个由同一n阶对称微分算式生成的赋予某种边界条件的微分算子乘积自伴边值问题，结合常微分算子自伴扩张的一般构造理论，分别给出了两个四阶微分算子、两个n阶微分算子、m个n阶微分算子乘积自伴边条件的解析刻划，得到了乘积微分算子是自伴的充分必要条件及与乘积算子自伴性有关的一些有益结果。 第四章对区间(a,b)(-∞≤a＜b≤∞)上n阶正则对称向量微分算式l(y)，假设幂算式l2(y)在加权空间L2T(a，b)中是部分分离的，对由幂算式l2(y)的最小算子Friedrichs扩张的边界条件给予了刻划。 第五章运用算子方法，研究了复系数J-对称微分算式生成的J-自伴微分算子谱的离散性，分别得到了一类J-自伴微分算子谱离散的充分条件与必要条件，为判断微分算子谱的离散性提供了若干准则。同时，在加权空间中，讨论了由复周期系数J-对称微分算式生成的J-自伴微分算子的本质谱，给出了一类J-自伴微分算子本质谱的存在区域。 最后，在第六章运用矩阵微分方程理论，考察了二维向量自伴Sturm-Liouville微分方程的谱，证明了在某些假设条件下，这类微分方程仅有有限多个二重特征值，进一步估计出一个下界mQ，使得当n＞mQ时，特征值λn都是简单(一重)的。作为结果的应用，得到了两个数量型自伴Sturm-Liouville微分方程具有有限多个共同特征值的一个充分条件，并对此共同特征值的个数给出了估计。

目录

文摘

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第一章绪论

第二章算子理论的基本知识

2.1 Hilbert空间线性算子

2.2微分算子

第三章微分算子乘积的自伴性

3.1两个四阶微分算子乘积的自伴性

3.1.1预备知识

3.1.2有限区间上乘积算子L2L1

3.1.3半轴上乘积算子L2L1

3.2两个n阶微分算子乘积的自伴域

3.2.1基本知识

3.2.2奇异区间上两个微分算子的乘积

3.2.3 正则区间上两个微分算子的乘积

3.3 m个高阶微分算式乘积的自伴域刻划

3.3.1基本概念及引理

3.3.2 L2[a，b]上算子T(lm)的自伴边条件刻划

3.3.3 L2[a，b]上乘积算子Tm(l)T2(l)T1(l)的自伴性

3.3.4 L2[a，∞)上算子T(lm)自伴域的描述

3.3.5 L2[a，∞)上乘积算子Tm(l)Tm(l)T2(l)T1(l)的自伴域

第四章一类微分算子Friedrichs扩张边界条件的刻划

4.1引言

4.2微分算子Friedrichs扩张边界条件的描述

第五章一类J-对称微分算子的谱特征

5.1 引言

5.2 J-对称微分算子离散谱准则

5.2.1基本引理

5.2.2 J-自伴微分算子谱离散的充分条件

5.2.3 J-自伴微分算子谱离散的必要条件

5.3 J-自伴周期微分算子的谱

5.3.1预备知识

5.3.2 J-自伴算子本质谱的定位

第六章二维向量Sturm-Liouville微分方程的谱特征

6.1引言

6.2向量Sturm-Liouville微分方程的谱重数

6.3有关特征值问题的估计

致谢

参考文献

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