直纹曲面与球面曲线

摘要

在直纹曲面的研究中，积分不变量是很重要的一个研究方向。而目前，大家所熟知的是基于闭直纹面上的积分不变量（螺距和螺角）。本文将积分不变量的定义从闭直纹面推广至一般直纹面，讨论直纹曲面的积分不变量和曲线的即时转动轴曲面。
　　本文主要由两部分构成:
　　1.建立直纹曲面上曲线的Frenet标架，定义两个函数λ(u）和μ(u)。λ（u）是影响原直纹曲面的弯曲程度的函数，μ(u）被定义为直纹面的螺距函数。在已经建立的Frenet标架的基础上，计算腰曲线(a)（u）的量与球面曲线(b)（u）的量之间的关系。
　　2.研究球面曲线(b)(u)的即时转动轴曲面(r)(u，w)=(b)(u)+w(Ω)(u)，和腰曲线(a)(u)的即时转动轴曲面(r)2((u)，(w)）=(a)((u))+(w)(Ω)((u)).计算它们各自的基本量及它们的高斯曲率和平均曲率，并得到一些结论。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 微分几何的产生与发展

1．2 微分几何学的基本内容

1．3 本文的主要内容和研究意义

第2章 预备知识

2．1 空间曲线

2．1．1 曲线的概念

2．1．2 空间曲线的Frenet公式

2．1．3 空间曲线论的基本定理

2．1．4 基本公式在运动学中的意义

2．2 曲面的基本概念

2．2．1 曲面的概念

2．2．2 曲面的第一基本形式

2．2．3 曲面的第二基本形式

2．2．4 曲面论的基本定理

2．3 直纹面

2．3．1 直纹面的概念

2．3．2 可展曲面

2．4 单位球面曲线

第3章 闭直纹面的积分不变量

3．1 闭直纹面的螺距和螺角

3．1．1 闭直纹面的螺距

3．1．2 闭直纹面的螺角

3．2 闭直纹面的积分不变量的一些结论

第4章 直纹面的积分不变量

4．1 直纹面的螺距函数

4．1．1 直纹面上曲线的Frenet标架场

4．1．2 直纹面的螺距函数

4．1．3 腰曲线(ā)(u)的Frenet标架场与球面曲线(-b)(u)的Frenet标架场的关系

4．1．4 直纹面(-r)(u，v)的基本量

4．2 达布向量和即时转动轴曲面

4．2．1 腰曲线(ā)(u)的达布向量与球面曲线(-b)(u)的达布向量之间的关系

4．2．2 球面曲线(-b)(u)的即时转动轴曲面及其基本量

4．2．3 腰曲线(ā)(u)的即时转动轴曲面及其基本量

第5章 总结

参考文献

致谢