三维欧氏空间中球面曲线的径向保形曲线

摘要

目前对空间曲线以及曲面上曲线的研究已经取得了很多理想且具有价值的成果。本文在经典微分几何中空间曲线基本理论的基础上，突破以往只局限于一种空间曲线标架的情形，采用新的球面伏雷内(Frenet)标架，并利用曲线的Frenet标架场，对三维欧氏空间中的球面曲线进行研究。 在微分几何的局部曲线论中常见的一类问题是在两条曲线之间建立某种点对应关系，这种对应可理解为双方均为一一的连续可微对应，然后假定在对应点处的某些几何特征满足一定的几何条件，从而得到相应的解析表达式，最后再利用Frenet公式对之进行微积分加工处理，从而得到一条曲线和与它对应的曲线之间的关系。本文就是在这种思想指导下进行的，首先给出三维欧氏空间中球面曲线的径向保形曲线的定义，然后研究三维欧氏空间中一条径向保形曲线与其球面曲线之间的对应关系。 对于一条空间曲线而言，引进曲线的曲率和挠率之后，除了曲线在空间的位置差别外，曲线就被完全确定了，它们是解决曲线问题的强有力的工具。所以只要找到两条曲线的曲率和挠率的对应关系就解决了本文研究的主要问题，而且结果具有一般性，可以应用于其它特殊曲线。

目录

声明

摘要

第1章引言

1．1几何学概述

1．2本文的主要内容、研究目的和意义

1．2．1主要内容

1．2．2研究目的和意义

第2章预备知识

2．1三维欧氏空间的定义

2．2三维欧氏空间中向量的代数运算

2．2．1向量的线性运算与向量的乘法运算

2．2．2正交坐标系中用坐标作向量的运算

2．3空间曲线

2．4空间曲线的基本三棱形

2．5空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式

2．6基本三棱形之间有某种对应关系的两条曲线

2．7一般螺线

2．8曲面上曲线的测地曲率

2．9球面曲线的球面伏雷内(Frenet)标架

2．10从切曲线

第3章三维欧氏空间中球面曲线的径向保形曲线

3．1三维欧氏空间中球面曲线的径向保形曲线

3．2几种特殊情形

3．2．1f(s)=s时的情形

3．2．2 f(s)=S且cosθ/s-θ=0时的情形

3．2．3 cosθ/f(s)-θ=0时的情形

3．2．4从切曲线

第4章总结与展望

参考文献

致谢