基于曲线曲面的可展曲面构造与分析

摘要

可展曲面是Gauss曲率等于零的直纹面。它具有很多重要性质，例如它可以没有拉伸和撕裂地展开到平面上;它是单参数平面族的包络等等。这些性质使可展曲面在曲面造型中具有非常重要的应用价值。比如在实体外形的设计中，若实体外表面是可展曲面，则可以在平面上进行设计;在计算机图形学的纹理映射中，一张平面图片可以没有形变地贴到可展曲面上等等。所以，根据工程实际要求如何构造所需的可展曲面，已成为当前想要解决的一个重要问题。
　　因此，本文主要针对基于已知的曲线、曲面几何条件如何构造可展曲面及相关问题，进行了如下几方面的深入研究和探讨:
　　(1)完善了过曲面曲线构造其可展切曲面的一般性理论和方法，得出了可展切曲面的表达形式，对可展切曲面进行了分类，通过建立两曲面间的映射关系，实现了它们间整体与局部的映射分析，较准确地把握曲面上几何要素的变形情况，并通过实例对理论和方法进行了验证。
　　(2)提出了构造回转曲面的可展切曲面及它们间映射分析的理论与方法，建立了回转曲面可展切柱面和可展切锥面的数学模型以及曲面间的映射关系，根据回转曲面及其可展切曲面间微分长度比的理论分析，推出了映射中极值映射曲线和等距映射曲线的微分方程，通过整体和局部的变形分析，可以准确地掌握回转曲面与其可展切曲面间映射中的变形情况。
　　(3)以曲面片的可展切曲面研究为基础，得出了过曲面、曲线几何要素构造可展曲面的理论和方法，包括过一条曲线构造与另一曲面相切的可展曲面和过两曲线构造的可展曲面，得出了可展曲面的解析表达形式。
　　(4)作为上述理论和方法的应用，给出了可展曲面构造与分析在曲面映射、不可展曲面近似展开和构件表面可展化设计等方面的应用举例。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题来源和意义

1．2 有关研究的历史与现状

1．2．1 可展曲面构造与分析方面研究的历史与现状

1．2．2 在曲面展开、纹理映射等应用方面的研究历史与现状

1．3 课题研究的思路、内容及创新点

1．3．1 课题研究思路

1．3．2 课题研究主要内容

1．3．3 特色及创新之处

1．4 曲面相关的基础知识

1．4．1 曲面与可展曲面的概念

1．4．2 曲面的第一基本形式

1．4．3 曲面的曲线弧长、区域面积、两曲线交角及等距变换

1．4．4 可展曲面的性质

第2章 沿曲面曲线构造可展曲面及其映射分析

2．1 可展曲面的构造

2．1．1 过曲面曲线存在的可展曲面

2．1．2 可展曲面沿Γ曲线与曲面Σ相切

2．1．3 可展切曲面的表达

2．1．4 可展切曲面的分类

2．1．5 正螺旋面的可展切曲面

2．1．6 双曲抛物面的可展切曲面

2．2 可展切曲面与原曲面间的映射分析

2．2．1 映射概念与参数转换

2．2．2 映射分析的内容

2．2．3 双曲抛物面与其抛物切柱面间的映射分析

第3章 回转曲面的可展切曲面

3．1 映射分析中的微分长度比

3．1．1 回转曲面的微分长度比

3．1．2 特殊方向的长度比

3．2 Γ曲线为经线时的可展切曲面

3．2．1 回转曲面与其可展切柱面间的映射

3．2．2 整体映射分析

3．2．3 局部映射分析

3．2．4 应用举例——用切柱面作球面片的近似展开

3．3 Γ曲线取为纬线时的可展切曲面

3．3．1 回转曲面与其可展切锥面间的映射

3．3．2 整体映射分析

3．3．3 局部映射分析

3．3．4 应用举例——用切锥面作球面片的近似展开

第4章 过曲线和曲面及两曲线构造的可展曲面

4．1 过曲线和曲面构造的可展曲面

4．2 应用举例—过半圆和半球面构造可展曲面

4．3 过两曲线构造的可展曲面

4．4 应用举例—过两椭圆曲线构造可展曲面

第5章 可展曲面构造的应用举例

5．1 在纹理映射中的应用：平面向双曲抛物面的映射

5．1．1 平面向可展抛物柱面的映射

5．1．2 抛物柱面向双曲抛物面的映射

5．2 在近似展开中的应用：圆环面的近似展开及误差分析与矫正

5．2．1 曲面片的展开

5．2．2 精度分析

5．2．3 圆环展开样板误差矫正

5．3 在曲面设计中的应用：用可展曲面构造变形接头的表面

第6章 结论与展望

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

致谢