波传播的单位分解有限元法

摘要

弹性波传播问题的研究在许多科学和技术领域都有着广泛的应用。例如：通过研究弹性波传播中的衍射现象来解释和研究结构中的动应力集中问题；通过研究真实或人工地震产生的波动以了解地球的内部结构；通过研究地下间断的反射波可以大概地知道可能含油的地层；对材料和结构进行无损探伤；在土木工程领域对地基和地下建筑进行强度和结构分析；在医学上对人体物理信息探测所使用的最普遍的B超和CT等等都与弹性波传播理论有着密切的关系。 有限单元法是求解波传播问题的主要数值方法之一。虽然它有很多优点，并成功地模拟了很多波传播问题，但同样存在许多不足之处。事实上，Zienkiewicz把短波问题的数值模拟视为有限元法尚未解决的两个主要问题之一。例如，为使结果达到可接受的程度，一般说来低阶的有限单元每个波长需要至少布置10个节点。由此导致计算时需要的内存较大，耗时较多，计算效率低下。并且，低阶的有限单元有比较严重的频散特性，高阶的有限单元则可能产生虚假的波动。单位分解有限元法(PUFEM)是近十年来发展起来的数值方法，它使得有限元插值空间中可以包含所求问题解的已知解析信息。因此它可以胜任许多传统有限元方法不能处理得很好或者需要非常大计算量的问题。 该文首先回顾了PUFEM的理论基础和现有工作，然后针对传统有限元法模拟短波传播问题的严重局限性，利用PUFEM插值空间中可包含所求问题解的己知信息的特点。 主要工作： 1.首次发展了一种用于瞬态弹性波传播数值模拟的单位分解有限元模型，有限元空间由形成单位分解的标准有限单元形函数乘以定义为局部子空间基函数的简谐振荡形函数构成。 2.针对PUFEM单元矩阵中的被积函数具有强烈的振荡特性，应用直角坐标下的标准有限元形函数和单元内的波动方向知识提出了一种新的单元矩阵解析积分方案。 3.将PUFEM应用于反平面剪切波的传播和散射问题中。对已知波传播方向时单位分解有限元如何选择局部子空间中的波数k给出了建议。 4.在Zienkiewicz和Shiomi的用于高速动力过程分析的饱和多孔介质广义Biot理论u-U公式的基础上，推导和建立了基于PUFEM的饱和多孔介质动力问题的离散方程。 5.在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下，编制了用于二维波传播数值模拟的PUFEM程序。数值例题显示在相同精度下，PUFEM的计算效率明显高于传统的有限元法。解析积分在计算效率上也比高斯-勒让德数值积分有大幅度的提高。 内容安排： 第一章首先对有限差分法、伪谱法、有限元法、无限元法、边界元法、谱单元法和格子法等各种用于波传播的数值方法做了简单的回顾，接下来着重介绍了以单位分解为基础的PUFEM的发展历程和最新进展，然后简单介绍了饱和多孔介质中的波传播研究现状。最后概述了该文的研究工作。 第二章介绍PUFEM的理论和应用。通过对传统有限元法逼近特性的讨论引入了PUFEM的概念，介绍了该方法的数学基础，阐述了该方法与其它数值方法的关系，较详细地介绍了该方法在裂纹模拟和波传播方面的应用。 第三章研究用于瞬态弹性波传播数值模拟的PUFEM模型。以往的PUFEM在波传播方面的工作都是针对稳态的标量波动问题。这章首先构造了用于瞬态波传播的单位分解有限元形函数。此形函数的形式使得本模型可像普通有限元一样简单地处理本征边界条件。此形函数的局部子空间中，不仅平面波方向角θ是可以随意增减的，而且波数k也可以根据需要选取多个。接下来对弹性动力方程进行了PUFEM离散，给出了主要公式，说明了求解方程组的病态特性。最后给出了数值算例。 第四章研究PUFEM单元矩阵的解析积分。PUFEM单元矩阵中的被积函数具有强烈的振荡特性，而大部分现有的数值积分过程在计算效率和计算精度上都还不能令人满意。这章应用直角坐标系下的标准有限元形函数和单元内的波动方向知识提出了一种新的单元矩阵解析积分方案，它对于平面三、四、六、八和九节点的直边单位分解有限单元是完全解析的，而对于相应的平面曲边单元则是半解析的。讨论了标准有限元形函数的构成，证明了标准有限元形函数的存在性，给出了解析积分的具体实现办法。最后的数值例题显示所提出的积分方案在计算效率上比高斯一勒让德数值积分有大幅度的提高。 第五章研究PUFEM应用于反平面剪切波的传播和散射，以及如何合理地选择局部子空间中的波数k。对反平面剪切波方程进行了单位分解有限元离散，给出了形函数的形式。说明了若在局部简谐形函数子空间中波动方向θ取为已知方向，而选取多个波数k，可以很大程度地减小有效刚度矩阵的条件数，甚至消除它的病态现象。通过一维问题对己知波传播方向时PUFEM如何选择局部子空间中的波数k进行了讨论。指出采用多个波数的PUFEM不仅可以模拟特定波长的简谐波传播，而且也可以很好地模拟由不同波长的简谐波迭加而成的复杂波。最后给出了数值例题。 第六章研究PUFEM模拟饱和多孔介质中的瞬态波传播问题。首先给出了饱和多孔介质的基本概念。接下来回顾了Zienkiewicz和Shiomi的用于高速动力过程分析的饱和多孔介质广义Biot理论u-U公式。然后在该公式的基础上，推导和建立了基于PUFEM的饱和多孔介质动力问题的离散方程，说明了方程中的相关参数。最后分别在不排水和排水条件下采用PUFEM对饱和多孔介质中弹性波的传播进行了模拟。 第七章给出了二维波传播数值模拟的PUFEM程序说明。该文的程序是在大型通用有限元分析程序LAGAMINE的框架下编制的。在较少变动原有程序结构的情况下，利用现有的程序，通过修改和添加相应的模块实现了PUFEM对二维波传播的数值模拟。这章给出了主要子程序说明、程序流程图和数据格式及说明。 第八章总结全文，并展望进一步的研究内容和工作。

目录

文摘

英文文摘

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第一章绪论

1.1引言

1.2用于波传播问题的数值解法介绍

1.2.1有限差分法(Finite differentce method)

1.2.2伪谱法(Pseudo-spectral method)

1.2.3有限单元法(Finite element method)

1.2.4无限单元法(Infinite element method)

1.2.5边界单元法(Boundary element method)

1.2.6谱单元法(Spectral element method)

1.2.7其它方法

1.3单位分解有限元法(PUFEM)

1.3.1广义有限元法(GFEM)

1.3.2扩展有限元法(X-FEM)

1.3.3波传播的单位分解有限元法

1.3.4单位分解用于其它数值方法

1.4饱和多孔介质和波

1.5本文的主要工作

参考文献

第二章单位分解有限元法(PUFEM)介绍

2.1引言

2.2有限单元法的逼近特性

2.3 PUFEM的数学基础

2.4 PUFEM与其他方法的关系

2.4.1传统的h和p类有限元

2.4.2数据拟合

2.4.3无网格方法

2.4.4数值流形方法(Numerical manifold method)

2.5 PUFEM的应用

2.5.1二维或三维的裂纹模拟

2.5.2二维和三维Helmholtz方程的短波散射问题

2.6小结

参考文献

附录 数学符号说明

第三章用于固体中瞬态波传播的PUFEM

3.1引言

3.2固体介质中波传播PUFEM的构造

3.3固体动力学的单位分解有限元公式

3.4求解方程组病态特性的讨论

3.4.1描述矩阵病态特性的条件数

3.4.2系数矩阵A病态的机理

3.4.3实际计算中采用的求解技术

3.5数值例题

3.6小结

参考文献

附图

第四章波传播单位分解有限元法的解析积分

4.1引言

4.2标准有限元形函数的构造

4.3平面直边四、八节点单元矩阵的A逆阵存在性

4.3.1直边4节点单元矩阵的A逆阵存在性

4.3.2直边8节点单元矩阵的A逆阵存在性

4.4单元矩阵的解析积分

4.5数值例题

4.6小结

参考文献

第五章PUFEM应用于反平面剪切波的传播

5.1引言

5.2反平面应变问题

5.3固体介质中反平面剪切波传播的PUFEM

5.4反平面剪切波的单位分解有限元公式

5.5波数K的选择

5.6数值例题

5.7 小结

参考文献

附图

第六章PUFEM应用于饱和多孔介质中的波传播

6.1引言

6.2饱和多孔介质的几个基本概念

6.2.1有效应力原理及多孔介质骨架变形的本构关系

6.2.2多孔介质孔隙流动的达西定律

6.3饱和多孔介质的基本方程

6.4基于u-U公式的饱和多孔介质单位分解有限元方法的构造和公式

6.5数值例题

6.6 小结

参考文献

第七章单位分解有限元法的程序实现

7.1引言

7.2程序说明

7.3程序流程

7.4数据格式及说明

第八章总结与展望

8.1总结

8.2展望

创新点摘要

攻读博士学位期间完成的相关学术论文

致谢