广义Mandelbrot集的分形结构的研究

摘要

本文研究了分形学中具有重要意义的广义Mandelbrot集(简称广义M集)的分形结构，并取得了一些研究成果。 文章阐述了一些基本的分形算法和牛顿法。对双参数复映射z←(zα+h1(c))β+h2(c)的参数空间进行了分析，通过台劳公式给出了确定双参数复映射参数空间中类广义M集的位置、尺寸和方向。并与单参数复映射的参数空间进行了比较。文章给出了一种基于逃逸时间算法的广义M集的渲染方法。该方法根据距离的远近和逃逸时间的不同进行颜色的选取，这种方法能够有效地进行广义M集的内外结构的渲染，从而使广义M集具有三维的立体效果。通过对该方法所绘制的广义M集的局部图形进行放大，会发现一些类似于山体等高线的同心圆环，这些同心圆环的中心点具有着一定的周期性，并且只有那些周期是逃逸时间N的约数的中心点的周围才能够呈现出类似于山体等高线的同心圆环的形状，这些中心点被称为逃逸时间N的约数周期点。

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文摘

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引 言

1分形和混沌理论概述

1.1分形理论概述

1.1.1分形理论的形成

1.1.2分形的定义

1.2混沌理论概述

1.2.1混沌理论的形成

1.2.2混沌的定义

1.3分形与混沌的关系

2分形算法简介

2.1关于M集分形算法简介

2.1.1构造M集分形图的逃逸时间算法

2.1.2构造M集分形图的逃逸线算法

2.1.3构造M集分形图的局部放大方法

2.2利用牛顿法求广义M集中心点的值

3利用M集和广义M集进行一维多次映射的分析

3.1使用M集和广义M集的理论分析

3.2关于z←zα+c(α＞1且α为正偶数)的分析

3.3关于z←zα+c(α＞1且α为正奇数)的分析

3.4关于z←zα+c(α＞1且α为正小数)的分析

4双参数复映射的参数空间

4.1双参数复映射参数空间的特殊点

4.2双参数复映射准广义M集M(z0=0)的参数空间

4.2.1双参数复映射准广义M集M(z0=0)的等价映射和简单例子

4.2.2双参数复映射准广义M集M(z0=0)的推广

4.3双参数复映射准广义M集M(z0α=-h1(c))的参数空间

5 M集及广义M集的逃逸时间N的约数周期点

5.1关于M集的中心点c0

5.2关于M集的渲染

5.3算法分析与约数周期点

5.4关于M集的约数周期点的图形显示

5.5广义M集的约数周期点的图形显示

结 论

参考文献

攻读硕士学位期间录用学术论文情况

致 谢