四阶完全非线性Boussinesq水波方程及其简化模型

摘要

波浪是海洋及近岸区域最为活跃、最为重要的环境动力因素之一，因此，对波浪从外海向近岸传播变形的研究是水动力学研究的前沿课题之一。近年来，随着Boussinesq方程研究的进展，Boussinesq类波浪模型在海岸工程中得到广泛的应用。本文对高阶Boussinesq非线性波浪模型进行了研究，内容包括： (1)基于欧拉方程，推导了一组精确到O(μ4,ε5,μ4)的高阶Boussinesq方程-BouN4D4(μ=k0h0，ε=A0/h0分别为表征方程色散性和非线性的参数，k0,h0和A0分别为特征波数，特征水深和特征波幅)。该方程具有以下特征：色散性精确到Pade[4，4]，适用于深水波浪传播问题；保留了所有O(μ4)阶非线性使方程具有良好的非线性性能，更加适合描述波浪非线性运动；推导过程中采用σ变换处理自由表面以及水底变化使方程适用于复杂地形上波浪传播问题。给出了BouN4D4的两组简化方程BouN2D4和BouN2D2，这两组方程精确到O(μ2)完全非线性，但色散性精度不同，前者为Pade[4，4]，后者为Pade[2，2]。对上述三组方程进行了理论分析和对比。建立了基于上述三组方程的高精度数值模型，对规则波跨越潜堤传播和深水波群非线性演化过程进行了数值模拟，通过相互对比三个模型的数值结果，着重考察了方程色散性、非线性在波浪传播过程中的作用，结果表明BouN4D4性能最佳。对方程进行了扩展使其能够考虑波浪破碎和海岸处波浪爬坡问题。将BouN4D4一维模型以及BouN4D4和BouN2D4二维模型用于模拟近岸波浪传播以及波浪破碎问题，计算结果和实验吻合良好，验证了模型的适用性。此外，为提高方程用于Bragg反射问题时的能力，对模型BouN2D4进行了改进并将其用于模拟沙坝地形上波浪的Bragg反射现象，结果表明改进是有效的； (2)上述模型BouN4D4虽然具有较好的非线性性能，但其表达形式较为繁琐，不利于数值实现和实际应用。同时，虽然BouN2D4和BouN2D2较BouN4D4而言表达形式简单，但其控制方程中仍然含有高阶导数项(空间四次、时间一次导数)，给数值实现带来一定困难。为克服上述困难，通过引入缓坡假定推导了三组Boussinesq方程一BouN4P6-1，BouN2P6-1和BouN2P2，它们的色散性和非线性精度分别同BouN4D4，BouN2D4和BouN2D2一致，但由于缓坡假定的引入简化了方程表达形式。其中，BouN4P6通过在六参数Boussinesq方程中引入O(μ4)阶非线性项得到，BouN2P6-1和BouN2P2分别通过将六参数Boussinesq方程[1]和二参数Boussinesq方程[2]提高到二阶完全非线性得到。对上述方程进行了理论分析并建立了一维数值模型，通过对比数值结果着重考察了缓坡假定对数值结果的影响； (3)为讨论方程中参数对方程性能的影响，推导了两组Boussinesq方程-BouN2P4和BouN4P4。这两组方程的色散性和非线性量阶分别同模型BouN2P6-1和BouN4P6-1一致，但方程中仅含有四个自由参数，通过理论分析讨论了参数对方程性能的影响； (4)上述模型的非线性性能各不相同，但它们的波幅离散性能都比较低。为解决这一问题，通过在计算速度表达式中引入含待定参数的高阶非线性项，对六参数Boussinesq模型[1]进行了改进，使其非线性性能(尤其是三阶非线性性能)进一步提高；同时，将该方法应用于模型BouN2P4和BouN4P4以提高其非线性性能。理论分析和数值计算结果表明这一改进方法是有效的； (5)上述Boussinesq类方程的色散性精度最高可达精确色散关系的Pad6[4，4]阶展开，这限制了模型在更深水域的应用。因此，推导了两组具有更高阶色散性同时表达形式较简单的方程。它们通过首先取水底速度为控制变量和采用缓坡假定，然后引入计算速度推导得到，其色散性可分别精确到Pad6[6，6]和Pad6[8，8]，对这两个方程进行了理论分析； (6)将模型简化至完全非线性浅水方程，建立了基于有限体积法(Finite VolumeMethod，FVM)的高精度数值模型，通过和解析解对比验证了模型的正确性。对规则波在均匀海岸上的破碎过程进行了模拟，数值结果同实验数据吻合良好； (7)上述模型均不能可考虑涡旋存在的情况，因此通过将速度分为势流部分和有旋部分，进行类似BouN4D4的推导，得到一组二维、可以考虑涡旋的高阶Boussinesq方程，对方程进行了理论分析并对涡的确定方法做了初步探讨。

目录

文摘

英文文摘

声明

1.绪论

1.1.研究背景及意义

1.2.国内外研究现状

1.2.1.缓坡方程波浪模型综述

1.2.2.Boussinesq类波浪模型综述

1.2.3. NSWE波浪模型综述

1.3.本文主要研究内容

1.3.1.本文主要研究内容

1.3.2.本文结构框架

2.精确到O(μ4)完全非线性的高阶Boussinesq模型

2.1.方程推导

2.1.1.速度的垂向分布

2.1.2.方程的推导

2.1.3.方程色散性和变浅作用性能的提高

2.1.4.色散关系为Padé[2，2]、精确到O(μ2)完全非线性的Boussinesq方程

2.1.5.色散关系为Pad[4，4]、精确到O(μ2)完全非线性的Boussinesq方程

2.1.6.方程Bragg反射性能的提高

2.2.方程性能分析

2.2.1.色散性及非线性性能分析

2.2.2.变浅作用性能分析

2.2.3.Bragg反射性能分析

2.3.方程的扩展

2.3.1.波浪破碎

2.3.2.海岸动边界

2.3.3.波浪入射条件

2.4.数值模型建立

2.4.1.数值求解

2.4.2.数值滤波

2.4.3.边界条件

2.4.4.混合子网格效应

2.5.小结

3.完全非线性高阶Boussinesq模型验证及其应用

3.1.一维模型验证及应用

3.1.1.潜堤上规则波传播

3.1.2.深水波群非线性演化

3.1.3.有限个沙坝上的Bragg反射实验

3.1.4.倾斜海滩上不规则波和波群传播

3.1.5.海岸处波浪爬坡模拟

3.2.二维模型验证及应用

3.2.1.椭圆形浅滩上波浪传播

3.2.2.圆形浅滩上波浪传播

3.3.小结

4.四阶完全非线性的高阶Boussinesq方程(有缓坡假定)

4.1.与BouN2D2和BouN2D4对应的简化模型

4.2.与BouN4D4对应的简化模型

4.2.1.方程推导

4.2.2.方程性能分析及系数确定

4.3.数值结果及讨论

4.3.1.非线性对数值结果的影响

4.3.2.缓坡假定对结果的影响

4.4.小结

5.关于Boussinesq方程中参数的讨论

5.1. O(μ2)阶完全非线性方程

5.1.1.方程推导

5.1.2.方程性能分析

5.1.3.方程参数作用的分析

5.2. O(μ4)阶完全非线性方程

5.2.1.方程推导

5.2.2.方程性能分析

5.3.小结

6.Boussinesq方程的进一步改进

6.1.BouN2P6-1的改进及分析

6.1.1.六参数方程非线性性能的进一步提高

6.1.2.水平速度表达式讨论

6.1.3.方程性能分析

6.2.第5章方程的改进和分析

6.2.1.BouN2P4的改进和分析

6.2.2.BouN4P4的改进和分析

6.3.数值结果分析及讨论(BouN2P8)

6.3.1.波群在水槽中的非线性演化

6.3.2.波浪跨越潜堤传播

6.4.数值结果分析及讨论(BouN4P6-2)

6.4.1.BouN4P6-2同BouN4P6-1的对比

6.4.2.BouN4P6-2同BouN4D4的对比

6.5.小结

7.具有更高色散性、四阶完全非线性的Boussinesq水波方程

7.1.色散性精确到O(μ12)、四阶完全非线性的Boussinesq方程方程的推导

7.1.1.精确到O(μ4)完全非线性的Boussinesq方程

7.1.2.方程的加强

7.1.3.方程性能分析(色散性+非线性)

7.2.色散性为Padé[8，8]或Padé[6，6]、四阶完全非线性的Boussinesq方程

7.2.1.方程推导

7.2.2.方程性能分析(色散性+非线性)

7.2.3.方程性能分析(变浅作用性能分析)

7.3.小结

8.基于有限体积法的完全非线性浅水方程模型

8.1.数值模型建立

8.1.1.控制方程

8.1.2.控制方程的有限体积离散

8.1.3.数值通量的建立

8.1.4.通过状态插值法提高数值通量精度

8.1.5.TVD限制因子的引入

8.1.6.源项的处理

8.1.7.时间积分

8.1.8.边界条件

8.2.模型验证和应用

8.2.1.一维模型验证和应用

8.2.2.二维模型验证

8.3.小结

9.各模型计算结果的进一步对比

9.1.数值结果进一步对比

9.1.1.一维问题

9.1.2.二维问题

9.2.小结

10.含涡的高阶Boussinesq方程的推导和初步分析

10.1.方程的推导

10.1.1.速度分布的推导

10.1.2.方程的推导

10.1.3.方程性能提高

10.1.4.方程性能分析

10.2.涡分布的参量化初步探讨(垂向二维问题)

10.2.1.涡沿水深分布

10.2.2.参数的确定

10.3.小结

结论

参考文献

附录

创新点摘要

攻读博士学位期间发表学术论文情况

致谢