约束优化问题的一类罚函数方法与误差界理论及其应用

摘要

本论文主要研究了约束最优化问题中一类光滑罚算法的收敛性和有限终止性与用信赖域方法和序列二次规划(SQP)方法的子问题定义的价值函数为投影梯度以及可行解至最优解集的距离提供了误差界，进一步研究了可行解点列的收敛性和有限终止性.取得的主要结果可概括如下： 1.第2章对约束最优化问题(NP)给出了一类光滑罚算法.它是基于一类逼近l1精确罚函数的光滑罚函数而提出的.这个算法的特点是每次迭代求出罚函数的全局精确解或者非精确解，在很弱的条件下算法总是可行的.在不需要任何约束规范的情况下，证明了算法的全局收敛性，即算法产生的点列的任一聚点都是问题(NP)的最优解.进一步，证明了算法的一个摄动定理，即算法产生的问题(NP)目标函数值序列的极限存在且等于(NP)的摄动函数在零点的极限.由这个定理可得出一系列有用的推论.特别是推出了问题(NP)的目标函数值序列收敛于问题(NP)最优值的充分与必要条件是摄动函数在零点下半连续.由于摄动函数仅与问题(NP)有关，因此这个结果可以预先用来有效地判断算法是否收敛.我们不仅证明了在Mangasarian-Fromovitz约束规范成立的假设条件下，经过有限次迭代后所有迭代点是可行解，而且还给出了它的必要条件.最后，分别在问题(NP)的解集是非退化与弱强极小的假设下，证明了算法在有限次迭代后，它的所有迭代点的梯度投影将终止于问题(NP)的最优解，并进行了数值试验，试验结果验证了算法2.1产生的迭代点列{xk}的全局收敛性与在可行域上的投影梯度-xk=P(xk-▽f(xk)｜S0)的有限终止性. 2.第3章在约束最优化问题(NP)中，分别利用信赖域方法中的两种信赖域子问题定义了两种价值函数φ(χ，△)和φ(χ，△)，这两种价值函数与先前文献中正则间隙函数(也是一种价值函数)有些不同，它们不是在可行解集S上产生，而分别是在给定点x∈S处约束函数和积极约束函数线性化后的多面体的一个信赖域上产生的.并研究了这两种价值函数的性质，这些性质将为下一章讨论的误差界奠定基础.关于价值函数的水平集的有界性的条件，在以往的文献中一般都要求相应的映射是强单调的.最近，某文献引入了比强单调相对弱的条件，即强强制性条件，在此条件下证明了变分不等式中自然剩余函数的水平集是有界的.但是对于本文中的价值函数φ(χ，△)和^φ(χ，△)来说，它的水平集的有界性，只需▽f(χ)满足弱强制性条件. 3.第4章利用第3章所定义的两种价值函数φ(χ，△)和φ(χ，△)，提供了几类误差界.利用价值函数蚤(χ，△)分别为投影梯度提供了一个全局误差界和可行解至最优解集距离提供了一个局部误差界；利用价值函数垂(χ，△)分别在强单调和单调的条件下，为可行解至最优解集距离提供了一个全局误差界和一个局部误差界. 4.第5章利用第4章给出的误差界，对可行解点列{χk，△k)(其中，χk∈S,△k是子问题 (QP(χk，△k))或(Q^P)(χk，△k))中在点χk处的信赖域半径)的收敛性与有限识别进行了分析.对于有限终止性，我们注意到它在凸最优化问题中已经得到广泛的研究，一些文献分别在解集满足弱强极小和非退化的条件下研究了可行解点列的有限终止性，并得到了很好的结果.为了对更一般的最优化问题研究它的可行解点列的有限终止性，我们在本章第三节中，先对上述两个条件进行了较为详细的分析与比较，并进行了某种推广.最后，分别在广义非退化以及广义弱强极小的条件下，证明了ψ(χk，△k)收敛于零是可行解点列有限终止于K-T点的充要条件和有限终止于稳定点的充分条件，它们改进和简化了已有的相应结果. 5.第六章，利用序列二次规划(SQP)方法的子问题定义了它的价值函数，给出了类似于信赖域子问题定义的价值函数所具有的性质和应用，并说明这些结果可应用到变分不等式中.

目录

文摘

英文文摘

声明

1绪论

1.1引言

1.2约束最优化问题中的罚函数方法

1.3约束优化问题中的价值函数和误差界及其应用

1.4本文内容介绍

1.5基本概念与符号

2约束最优化问题中一类光滑罚方法的全局收敛性及有限终止性

2.1引言

2.2一类光滑函数的渐近性质

2.3算法与全局收敛性

2.4有限终止性

2.4.1非凸情况

2.4.2凸的情况

2.5数值结果

2.6小结

3约束最优化问题中的两种价值函数

3.1引言

3.2价值函数的性质

3.3本章小结

4约束最优化问题中的两类误差界

4.1引言

4.2全局误差界

4.2.1投影梯度的全局误差界

4.2.2强凸情况下，dist(χ，S*)的全局误差界

4.3局部误差界

4.4本章小结

5可行解点列的收敛性与有限终止性的条件

5.1引言

5.2可行解点列收敛性的条件

5.2.1由价值函数φ(χ，△)表示的可行解点列的收敛性条件

5.2.2由价值函数φ(χ，△)表示的可行解点列的收敛性条件

5.3可行解点列有限终止性的条件

5.4本章小节

6由SQP方法子问题的价值函数提供的误差界及其应用

6.1引言

6.2误差界

6.2.1价值函数φ(χ)的性质

6.2.2误差界

6.3有限终止性

6.4应用于变分不等式

6.5本章小结

7结论与展望

7.1结论

7.2今后研究工作的展望

参考文献

附录A 符号说明

攻读博士学位期间发表学术论文情况

致谢