可定向闭3-流形的弱可约Heegaard分解的细分

摘要

Heegaard分解是3-流形上一种重要的组合结构，通过Heegaard分解来了解3一流形的拓扑性质和几何结构是研究3-流形的常用的重要方法.近几十年来，Heegaard分解领域以及相关的领域的研究十分活跃，成果也非常丰富。Casson-Gordon在1987年引入了弱可约的Heegaard分解的想法，证明了如下著名的结果：设VUsW是3-流形M的一个弱可约的Heegaard分解.则或者是VUsW可约的，或者3-流形M包含一个正亏格的不可压缩曲面.Sharlemann-Thompson在1995年把Heegaard分解弱可约的想法进一步拓展，建立了一般的Heegaard分解的理论，以他们的理论为基础，方法为工具，Heegaard分解理论有了飞跃的发展，很多经典的困难的问题相继得到解决，相关的思想、方法和理论（如一般化的Heegaard分解理论）得到了深入和系统的研究和总结，成为组合3-流形拓扑理论中的一个重要工具。
　　 本文首先研究了可定向闭曲面上不交的两个曲线子系统，得到几个有用的性质。在此基础上深入研究了可定向闭3-流形的弱可约的Heegaard分解，引入了弱可约的Heegaard分解VUs，W的相关极大圆片组概念，得到了如下的主要结果：
　　 定理1.设M是一个可定向闭3-流形，VUsW是M的一个弱可约的Heegaard分解，D={D1,…DP}和ε={E1,…Eq}为VUs W的分别包含于V和W的一对相关极大圆片组，aD和a8在 S上的型为(F1,…，F1；…，Fl1+l2)，其中ni=g(Ff）0，1≤i≤l1,Fl1+1,Fl1+l2均为平面曲面.则有
　　 (1)当l2>1时，VUs W是可约的。
　　 (2)当l2=0时，M包含亏格分别为n1,…nl1的互不相交的不可压缩曲面，并且n1+…+nl1　　 定理2.设VUs W是3-流形M的Heegaard分解.若VUs W是弱(g1,g2)-可约的，则M中存在一个可定向连通闭曲面F，F与S不平行，g(F）g1+g2且F与S交于S上的一条本质简单闭曲线。
　　 定理1对可定向闭3-流形的弱可约的Heegaard分解的性质和结构给出了细化描述，一定程度上推广了Casson-Gordon定理。定理2给出有弱(gi，g2)一可约的Heegaard分解的3-流形的一个性质。

目录

文摘

英文文摘

声明

1 绪论

1.1 总论

1.2 课题来源及国内外的研究现状

1.3 本文的主要内容和章节安排

2 预备知识

2.1 3-流形的基本概念

2.1.1 3-流形初步

2.1.2 不可约流形及流形的连通和

2.1.3 3-流形中的一些重要曲面及几类特殊3-流形

2.2 3-流形的Heegaard分解

2.2.1 Heegaard分解

2.2.2 Heegaard分解的性质和结构

2.3 本章小结

3 弱可约Heegaard分解的细化和弱(g1，g2)-可约的Heegaard分解

3.1 曲面上的不分离曲线组和两个不分离曲线组的型

3.2 弱可约Heegaard分解的细分和性质

3.3 弱(g1，g2)-可约的Heegaard分解

3.4 本章小结

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致 谢