组合学中的极值问题研究

摘要

极值问题是数学中一个重要的研究课题，它在代数，分析，组合，概率及计算数学等领域有着十分重要的应用.组合学中的极值问题十分丰富，研究内容包括单峰性，对数凹性，对数凸性，双峰性，PF性质，偏序集，集族，理想，交族，Sperner族等方面.本文对组合极值中的一些问题进行了研究，如PF多项式（序列）的Hadamard幂问题，p，q-二项式系数的单双峰问题，理想中Sperner族的大小问题，并得到了一些相关的结果.全文共分四章.
　　第一章介绍了单峰型，Hadamard幂，偏序集等的基本概念和相关结论.
　　第二章主要研究了单峰型问题，多项式及矩阵形式的Hadamard乘积及Hadamard幂的相关性质.存在一个与此相关的猜想，即若系数全大于零的多项式f(x)=Σni=0aixi只有实零点，那么对于任意的p≥1，f(x)的第p次Hadamard幂f[p](x)=Σni=0 apixi也只有实零点.我们证明在n=3情况下这个猜想成立，并在n=4情况下给出一个反例，从而否定了此猜想.同时，还证明若f(x)只有实零点，那么存在正数Pn，使得对于任意的p＞Pn，f[p](x)也只有实零点.
　　第三章介绍了p，q-二项式系数单双峰问题及在Ising模型的应用.按照苏循团，王毅在证明Lundow和Rosengren的猜想的思路，扩展了他们的一个定理，给出了p，q-二项式系数单双峰性的一个充要条件，自然地解决了他们提出的一个问题.
　　第四章讨论了理想的极值问题.介绍了极值集合中的理想，及与交族，Sperner族的相关理论，特别是Chvátal猜想及一些相关的定理和问题.对于理想中的Sperner族的大小的猜想，我们研究了它在V.i.p.序下的压缩理想，小秩下的理想的情况，并给出了肯定的回答.之后介绍了Pitteloud在反字典序下Macaulay偏序集的相关工作，并给出了此猜想在压缩理想满足反字典序的情况下的部分结果.

目录

声明

摘要

引言

1 绪论

1．1 基本概念及术语

1．1．1 单峰型

1．1．2 Hadamard幂

1．1．3 p，q-二项式系数

1．1．4 偏序集

1．2 本文主要工作

2 单峰型问题及Hamadard幂

2．1 Hadamard乘积

2．2 Hadamard幂

2．2．1 概述

2．2．2 主要结果

2．3 矩阵形式

3 p，q-二项式系数

3．1 基本械忿

3．2 主要结果

4 理想

4．1 偏序集

4．2 理想

4．3 理想，交族及Chvátal猜想

4．4 理想，Sperner族

4．4．1 v．i．P．序下的压缩理想

4．4．2 特定秩下的理想

4．4．3 反字典序下的压缩理想

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢