经典分拆函数及其同余公式

摘要

利用Theta函数中的基本公式，以及多分段级数的方法，作者研究了分拆函数的某些等式及同余性质.作者还定义了多着色分拆上的多秩统计量，从而给出Toh已经证明的几个分拆函数同余式的组合证明.作者还借助模方程理论，找到了几个带不同着色的分拆恒等式.具体内容如下:
　　(1)借助于经典Theta函数重要公式:Jacobi三乘积恒等式;五乘积恒等式;Weierstrass三项关系式，作者给出了满足Ramanuj an立方连分式的四个等式的证明，以及其他Theta函数等式的证明.借助于级数展开的方法，也给出了一些Theta函数等式的证明，利用关于Ramanujan立方连分式的Theta函数等式，重新证明了Chan提出的Ramanujan“最漂亮等式”的立方模拟的分拆函数式.
　　(2)通过利用多分段级数的方法，作者建立了三个多分拆函数的六个同余关系式及他们对应的发生函数.
　　(3)作者推广Hammond-Lewis偶秩到多着色分拆的多秩，并且给出由Zhao和Zhong于2011年定义的多着色分拆b(n)模5，7的组合解释，以及由Toh于2012年定义的分拆Q(p1，p2)(n)模3，5的组合解释.
　　(4)作者还利用模方程理论中的带乘数的Ramanujan公式，建立了十六个带不同着色的分拆恒等式.其中，还包括了由Sandon和Zanello给出的三个猜想.

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 经典分拆函数

1．2 相关发生函数

1．3 Theta函数中的基本公式

1．4 Fibonacci-like序列的两个多重卷积

1．5 本文主要工作简介

2 Theta函数及相关计算

2．1 两个模函数关系的新证明

2．2 三乘积恒等式和五乘积恒等式

2．3 Chan立方模拟的计算证明

2．4 Weierstrass三项关系及启示

2．5 利用级数展开的方法计算

3 分拆发生函数及同余关系

3．1 分拆函数C(n)的同余

3．2 对Chan和Cooper同余的回顾

3．3 分拆函数（ζ）(n)的同余

3．4 分拆函数D(n)的同余

4 多着色分拆的多秩

4．1 背景性材料简介

4．2 多分拆函数b(n)的多秩及同余

4．3 多秩及多分拆模3同余

4．4 多秩及多分拆模5同余

5 不同着色的分拆恒等式

5．1 背景性材料介绍

5．2 不带某个素数倍数的分拆

5．3 不带9或者25倍数的分拆

5．4 带和不带3，5，7或11倍数的分拆

5．5 不带3，5，7或13倍数的分拆

5．6 更复杂的分拆恒等式

6 结论和展望

参考文献

攻读博士学位期间发表学术论文情况

致谢

作者简介