非均质材料动力及非线性分析的多尺度有限元方法研究

摘要

众所周知，自然界中的很多材料都具有多尺度特征，如多孔介质、动物的骨骼、超大型机械中的复合材料等，这些材料的最大特征尺寸与最小特征尺寸相差甚大。对于这类非均质材料的力学行为，如果用传统计算方法（有限单元法、有限差分法等）来进行分析，则要求网格的尺寸必须要小于材料的最小特征尺寸，这就使得计算量巨大，甚至不可行。针对这一实际问题，研究学者们发展了很多种多尺度方法，如均匀化方法、代表体元法等，然而这些方法通常具有周期性假设，而且很难得到细尺度上的解。因此，寻求一种高效的多尺度计算方法已经成为当前的研究热点。
　　本文首先介绍了一种针对非均质材料的线弹性静力学分析的扩展多尺度有限元方法(EMsFEM)。该方法的主要思想是通过数值构造粗单元的基函数，将子网格上的微观非均质性质带到宏观尺度上来，这样原问题就可以直接在宏观尺度上进行求解，节省了大量的计算量和计算时间。对于固体力学问题，考虑了粗单元内部不同方向之间的泊松效应，在数值基函数中添加了附加耦合项，明显提高了计算精度。本文简要介绍了扩展多尺度有限元方法的基本计算思想、四种常用的构造数值基函数的方法、宏观分析和降尺度计算等。
　　受数值基函数中附加耦合项的启发，本文基于传统平面四节点四边形(Q4)单元，提出了一种新的平面四节点广义等参单元，在位移插值函数中添加了附加耦合项，考虑了单元内部不同方向之间的泊松效应的影响。与传统Q4单元相比，该单元没有额外增加自由度，明显提高了计算精度。相邻的新单元之间是完全协调的，因此该单元属于协调单元。本文详细验证了该新单元可以满足分片试验的要求，并考察了不同形式的附加耦合项对计算结果的影响。
　　几何非线性是固体力学中最常见的问题之一，本文将扩展多尺度有限元方法与共旋坐标法相结合，针对非均质材料的大位移小应变问题，发展了一种多尺度分析列式，使得扩展多尺度有限元方法可以有效地应用到几何非线性问题中。主要步骤如下:首先，利用数值基函数将一个非均质单胞等效为一个粗单元（宏观单元）;然后，在宏观单元上运用共旋坐标列式来计算宏观单元的等效切线刚度矩阵，进而形成整个结构的等效切线刚度矩阵，并得到宏观网格节点的位移;最后，再次利用数值基函数得到微观的位移结果，进一步可以得到微观的应力结果。
　　另外，本文针对非均质材料的线弹性动力问题，还提出了一种高效的多尺度计算方法。对于静力问题，结构的位移只与结构的刚度和外力载荷直接相关;而对于动力问题，还需考虑结构的惯性力。而原始的扩展多尺度有限元法中的数值基函数是在子网格域上通过求解静力平衡方程得到的。然而，对于动力问题，结构的位移还与惯性力相关。原始的扩展多尺度有限元法中的数值基函数中没有考虑单胞的动态效应。对于动力问题，这不可避免地将产生较大的误差。因此，为了减小误差提高原始的扩展多尺度有限元法的计算精度，需要考虑单胞的惯性效应。正因为如此，本文在原始的多尺度基函数中引入了模态基函数。另外，对二维问题，在扩展多尺度有限元法中用的都是四节点宏观单元，该单元的变形模式相对简单，这种单元只能描述相对简单的低阶变形，对于更为复杂的变形则显得无能为力。如果用这种四节点的宏观单元来描述较为复杂的变形，则必须要将粗网格加密，但是这样扩展多尺度有限元法的计算效率就会大大降低。因此，为了在不增加太多计算量的同时又确保计算精度，本文提出了一种多节点宏观单元。
　　然后，基于所提出的多节点宏观单元，进一步研究了非均质材料多尺度弹塑性动力问题，提出了一种新的局部位移修正技术。当材料发生塑性变形时，单胞内部将产生不平衡力。这些不平衡力一部分被多尺度基函数带到宏观方程中参与平衡迭代，而另一部分则被忽略。如果不采取措施，这部分没有被映射到宏观方程中的不平衡力将会丢失，因此，为了提高计算精度，本文提出了一种新的局部位移修正技术来充分考虑这部分没有被映射到宏观平衡方程中的不平衡力的影响。
　　最后，基于所构造的多节点宏观单元，针对线弹性静力问题，提出了一种宏观节点自适应算法，根据该算法可以得到宏观节点的近似最优分布情况，能够实现在位移梯度较大的区域分布的宏观节点较多，在位移梯度较小的区域分布的宏观节点较少。

目录

声明

摘要

图表目录

主要符号表

1 绪论

1．1 研究背景及意义

1．2 多尺度计算方法研究进展

1．2．1 均匀化方法

1．2．2 代表体元法

1．2．3 非均质多尺度方法

1．2．4 多尺度有限元法

1．2．5 其他多尺度计算方法

1．3 非均质材料多尺度动力分析相关研究

1．4 本文主要研究内容

2 扩展多尺度有限元法简介

2．1 引言

2．2 基本计算思想

2．3 多尺度数值基函数构造

2．3．1 线性边界条件

2．3．2 超样本振荡边界条件

2．3．3 周期边界条件

2．3．4 超样本周期边界条件

2．4 宏观分析与降尺度计算

2．5 本章小结

3 平面四节点广义等参单元

3．1 引言

3．2 单元列式

3．3 分片试验

3．4 不同形式的附加耦合项

3．5 数值算例

3．6 本章小结

4 非均质材料多尺度大位移小应变分析

4．1 引言

4．2 基本思想

4．3 宏观单元的等效切线刚度矩阵

4．4 宏观分析与降尺度计算

4．5 数值算例

4．6 本章小结

5 非均质材料多尺度静动力统一分析

5．1 引言

5．2 基本原理和实施过程

5．2．1 位移基函数

5．2．2 模态基函数

5．2．3 粗单元宏观等效矩阵

5．2．4 位移基函数与模态基函数的正交性

5．2．5 宏观分析与降尺度计算

5．3 静力分析

5．4 广义特征值分析

5．5 瞬态响应分析

5．6 该方法与固定交界面模态综合法的区别与联系

5．7 本章小结

6 多节点扩展多尺度有限元法的进一步研究

6．1 引言

6．2 非均质材料多尺度弹塑性动力分析

6．2．1 迭代列式

6．2．2 宏观节点内力计算

6．2．3 计算流程

6．2．4 局部位移修正

6．2．5 数值算例

6．3 宏观节点自适应分析

6．3．1 误差估计

6．3．2 自适应策略

6．3．3 数值算例

6．4 本章小结

7 总结与展望

7．1 总结

7．2 创新点摘要

7．3 展望

参考文献

附录A 程序流程图

攻读博士学位期间科研项目及科研成果

致谢

作者简介