锥约束随机变分不等式的求解及应用

摘要

近年来，带有锥结构的优化问题、互补问题和变分不等式问题得到了广泛的研究，很多实际的交通、金融和库存等问题中都带有诸如天气、需求等不确定的因素.为了更好的求解这类不确定问题，需要提出相应的随机模型并给出恰当的方法来求解它们.
　　论文所阐述的主要结果可概括如下:
　　1.第二章提出带有多面体锥约束的随机变分不等式问题，将问题转化成随机非光滑等式系统，并且应用两种基于牛顿方法的随机近似(SA)方法和样本均值近似(SAA)方法来求解该系统，在一定的条件下，获得了所提出算法的收敛性结论.比较了SA方法与SAA方法的数值结果说明这两种方法都可以有效的求解所提出的模型.
　　2.第三章应用联合修正牛顿法的(SAA)方法求解一类带有二阶锥约束的随机变分不等式问题.在一定的条件下，证明出SAA问题的解依概率1收敛到原始问题的解，并且证明出随着样本点的增大，收敛速度呈现出指数的变化趋势.给出一些直观的数值结果来反映所提出方法的可执行性和有效性.
　　3.在第四章研究了带有半定锥约束变分不等式问题的特例——随机凸半定规划模型，研究该模型的主要动机是为了处理金融问题中的不确定因素.设计非精确的SA方法来求解这个模型并且证明了所提出算法的收敛性，复杂度和非精确处理，而后给出数值试验来说明所提方法的有效性.
　　4.第五章研究SAA方法求解带有对称锥约束的随机变分不等式问题.它提供了一个可以用来解决多面体锥约束随机变分不等式，二阶锥约束随机变分不等式和半定锥约束随机变分不等式等问题的框架.进一步本章提出基于投影的半光滑牛顿法和基于Fischer-Burmeister函数的修正牛顿方法来解决对应的SAA问题，并给出数值试验说明方法的可执行性和有效性.

目录

声明

摘要

主要符号表

1 绪论

1．1 问题的背景和研究现状

1．1．1 锥约束随机变分不等式问题的起源

1．1．2 随机近似(SA)方法

1．1．3 随机样本均值(SAA)方法

1．1．4 实际应用问题举例

1．2 基本概念与结论

1．2．1 欧式若当代数与对称锥的相关知识

1．2．2 二阶锥的相关知识

1．2．3 变分不等式的相关知识

1．3 本文研究内容介绍

2 带有多面体锥约束的随机变分不等式问题

2．1 引言

2．2 模型转化与SA方法

2．2．1 基于牛顿法的SA方法

2．2．2 基于牛顿法的非精确SA方法

2．3 SAA方法解决随机变分不等式

2．4 数值试验

2．5 本章小结

3 带有二阶锥约束的随机变分不等式问题

3．1 引言

3．2 收敛性分析

3．2．1 模型转化

3．2．2 解集合的收敛性证明

3．3 数值试验

3．4 本章小结

4 非精确随机近似方法求解半定锥约束随机优化问题

4．1 引言

4．2 解决凸随机矩阵优化问题的算法和收敛性分析

4．3 SA方法的复杂度分析和鲁棒处理

4．4 当Θ={(A)(X)=b，X≥0}时问题求解

4．5 数值试验和应用

4．5．1 随机矩阵问题的数值结果

4．5．2 随机凸二次半定规划的数值结果

4．5．3 预测股票市场中的相关系数矩阵

4．6 本章小结

5 带有对称锥约束的随机变分不等式

5．1 引言

5．2 SAA方法的收敛性分析

5．3 求解SAA问题

5．3．1 基于投影的半光滑牛顿法

5．3．2 基于FB函数的修正牛顿算法

5．4 SAA方法联合半光滑牛顿法的数值结果

5．4．1 带有正象限锥约束的随机变分不等式数值结果

5．4．2 带有二阶锥约束的随机变分不等式数值结果

5．4．3 带有对称锥约束的随机变分不等式数值结果

5．5 SAA方法联合修正牛顿法的数值结果

5．6 本章小结

结论与展望

参考文献

攻读博士学位期间发表学术论文情况

致谢

作者简介