三维Stokes方程的二次非协调有限元法

摘要

2014年，Meng等提出了一个长方体上的二阶非协调有限元（下称MSLK元），以求解二阶椭圆问题.随后，Bai和Meng在每个单元上增加了泡沫函数，与分片不连续的P1元构成了稳定的混合有限元以求解Stokes问题.本文基于MSLK元给出了一个求解三维Stokes方程的新的二次非协调混合元法.我们首先分析了以向量形式的MSLK元空间作速度的逼近，以分片不连续P1元作压强的逼近所构成的混合元的不稳定性，指出混合元方程组亏损的秩为4.然后在离散速度空间中扩充一个4维全局泡沫函数空间，使得扩充后的新混合元满足一个较弱的稳定性.该混合元空间作为Bai和Meng提出的混合元空间的子空间，具有最少的自由度，因此有效减少了计算量，且仍可达到最优的收敛阶.实验结果验证了本文的理论分析.

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 有限元法简介

1．2 相关工作

1．3 本文的主要工作和全文结构

2 预备知识

2．1 Sobolev空间

2．2 有限元和非协调元

2．3 Stokes方程及其有限元逼近

2．3．1 Stokes方程

2．3．2 混合有限元法求解Stokes问题

2．4 长方体上的二次非协调元——MSLK元

2．4．1 单位立方体上的MSLK元

2．4．2 全局有限元空间

3 构造稳定的混合有限元

3．1 混合元[NCh0(Ω)]3×Ph的不稳定性

3．2 速度空间的扩充及其弱稳定性

4 数值实验

4．1 实验方法

4．1．1 压强空间Ph基函数的选取

4．1．2 对泡沫函数的处理方法

4．2 实验结果

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢