Burgers方程的解析解和半解析数值方法

摘要

Burgers方程是非常重要的一类非线性方程，是描述对流和扩散之间相互作用的最原始模型。该方程综合了一阶波动方程和热传导方程的特性，具有遵循守恒定律、混合偏微分方程、非线性等数学特点，这使得它具有很高的研究与应用价值。但是由于大雷诺数下激波的出现，要得到一个高精度、高效率、稳定性好的数值方法非常困难。
　　首先，本文给出了具有特殊初始条件的二维和三维Burgers方程的解析解。以正弦和余弦函数的特殊组合构成初始条件时，Burgers方程的解能够表现激波的现象，而且目前没有文献给出针对此问题的解析解。本文基于Hopf-Cole变换和分离变量法得到了级数形式的解析解，其中每个级数项均需要数值计算二重积分和三重积分。这两个积分的被积函数是由与雷诺数相关的指数函数以及与级数项相关的三角函数组成，随着雷诺数的增加，计算效率非常低。因此，本文在原解析解的基础上将这两个特殊的积分进行简化，即二重积分或三重积分的值可以通过由贝塞尔函数、超几何函数、幂函数以及阶乘等构成的特殊函数计算得到，从而大大提高了该解析解的计算效率和稳定性。这两个特殊问题的解析解可为验证数值方法的精确性提供参考。
　　其次，本文提出了一种求解一维和二维Burgers方程的半解析数值方法。该方法基于Hopf-Cole变换和对称变换，分别把有限域一维、二维Burgers方程转变为无穷域的热传导方程。然后基于格林函数法，得到了热传导方程的解析解，从而得到了Burgers方程的解。但是在大雷诺数下直接计算该解会出现浮点数计算精度问题和无穷域数值积分问题，从而导致该解不能给出正确的结果。因此，本文通过严格的误差分析，将无穷域的数值积分转换为有限域的数值积分，进而解决了以上的两个数值困难，使得即使在大雷诺数下也能够得到非常精确的数值结果。数值算例表明，本文的半解析数值方法在精度、效率、稳定性以及可靠性方面均表现优秀，能够很好地捕捉激波的特性。在雷诺数很大的情况下，当其他数值方法完全失效时，本文方法仍然能够给出精确和稳定的数值结果。

目录

声明

摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 解析解和数值求解方法综述

1．3 本文的主要工作

2 二维和三维非线性Burgers方程的解析解

2．1 二维Burgers方程和Hopf-Cole变换

2．1．1 二维Burgers方程的解析解

2．1．2 解析解中系数的简化

2．2 三维Burgers方程和Hopf-Cole变换

2．2．1 三维Burgers方程的解析解

2．2．2 解析解中系数的简化

2．3 数值结果

2．3．1 二维Burgers方程解析解的数值结果

2．3．2 三维Burgers方程解析解的数值结果

2．4 本章小节

3 一维Burgers方程的半解析数值方法

3．1 基于Cole-Hopf变换的积分形式解析解

3．2 大雷诺数下Burgers方程解析解的两个问题

3．3 一维Burgers方程的半解析数值方法

3．3．1 大雷诺数下浮点精度问题的解决方法

3．3．2 解析解分母的积分限选取

3．3．3 解析解分子的积分限选取

3．4 数值算例

3．5 本章小结

4 二维Burgers方程的半解析数值方法

4．1 基于Cole-Hopf变换的积分形式解析解

4．2 大雷诺数下Burgers方程解的两个问题

4．3 二维Burgers方程的半解析数值方法

4．3．1 大雷诺数下浮点精度问题的解决方法

4．3．2 解析解的积分限选取

4．4 数值算例

4．5 本章小节

结论

参考文献

附录

攻读硕士学位期间发表学术论文情况

致谢